MODELOS MATEMÁTICOS EM BIOLOGIA

MODELOS MATEMÁTICOS EM BIOLOGIA

Universidade de Évora - semestre ímpar 2009/10 – 7,5 ECTS

Mestrado em Modelação Estatística e Análise de Dados

Mestrado em Matemática e Aplicações

Programa de Doutoramento em Matemática

AULAS teórico-práticas: 17.00-20:00+21:00-23:00 de 9 de Outubro; 16.00-21:00 de 17 de Outubro; 17:00-21:00 de 23 e 30 de Outubro e de 13 de Novembro; 15:00-20:00 de 14 de Novembro; 17:00-21:00 de 20 de Novembro; 15:00-17:00 de 21 de Novembro; 17:00-21:00 de 27 de Novembro e de 4 de Dezembro de 2009 – sala 127 CLAV

Aulas tutoriais: 6 horas a combinar com os alunos

ASSISTÊNCIA AOS ALUNOS: Presencial: Sextas 14:00-17:00; sempre que os alunos procurem o docente e este esteja disponível. Em qualquer caso devem prevenir previamente ou combinar pelo telemóvel 939216682 ou (com antecedência) pelo e-mail braumann@uevora.pt Assistência também por e-mail.

PÁGINA WEB DA UNIDADE CURRICULAR: http://home.uevora.pt/~braumann/mmb/mmb.htm

AVALIAÇÃO

Pequeno projecto individual obrigatório que pode consistir na análise e crítica de um artigo relevante publicado em revista da especialidade ou na aplicação de modelos usando dados reais ou estudos de simulação (artigos/temas a acordar com o docente, devendo ser propostos até dia 27 de Novembro de 2009): a entregar até 19 de Janeiro de 2010 (ou até 21 de Setembro de 2010 se fizer exame na época especial). Classificação do Projecto = P.

2 Trabalhos para casa: a entregar até às datas neles indicadas. Classificação média dos trabalhos: T

Exame normal: 9 de Janeiro de 2010 às 10:00 horas sala 134 CLAV. Classif. do exame normal = E.

Exame recurso (casos estritamente previstos no Regulamento)– Data alterada para 21 de Janeiro de 2010 às 14:30 horas – Sala 236 CLAV.

Época especial (casos estritamente previstos no Regulamento) – 21 de Setembro de 2010 às 10:00 horas – sala a determinar CLV

Classificação do exame de recurso ou da época especial = R.

Classificação final = (P+T+E)/3. No caso de exame de recurso ou época especial = [P + 2 R] / 3.

Podem trazer apontamentos para consulta nos exames.

NOTA Sobre o projecto individual caso se trate da análise e crítica de um artigo:

A ideia é dar a oportunidade ao estudante de mestrado para analisar ou criticar um artigo já publicado numa revista científica relativo a um modelo matemático na área da Biologia. O artigo pode ser dum tópico de interesse no programa da cadeira. O projecto consiste na entrega dum relatório de 10 a 15 páginas (dactilografado) com a seguinte informação:

A) Um sumário dos objectivos do artigo e do tipo de modelo usado (determinístico ou estocástico, tempo discreto ou contínuo, a variável estado ou de interesse é discreta ou contínua, trata-se dum modelo de indivíduos, populações ou ecossistemas, linear ou não linear, estruturado, etc). O modelo é usado para explicar um fenómeno biológico, explorar, resumir, prever ou para estimar? Descreva quais são as variáveis e os parâmetros de interesse no modelo.

B) No caso de estimativas de parâmetros: que métodos de estimação foram utilizados? No caso das aplicações, que tipo de dados foram utilizados e como foram recolhidos. Se não houver dados, que tipo de dados seriam necessários para usar o modelo?

C) Quais técnicas de análise foram utilizadas (análise de estabilidade, sensibilidade, calibração, simulação, etc.)? Descreva o comportamento qualitativo e quantitativo do modelo.

D) Que aprendeu com o análise do artigo? Acaso os autores testaram alguns dos pressupostos dos modelos? Que métodos usaram e como puderam ser testados alguns dos pressupostos? Que novos truques foram aprendidos? Quais são as vantagens e/ou limitações?

A proposta do projecto deverá ser entregue o mais tardar no dia 27 de Novembro de 2009 e consistirá numa breve descrição dos pontos indicados acima (duas ou três paginas), acompanhada de fotocópia do artigo a analisar.

As seguintes revistas científicas podem ser utilizadas para a escolha dos artigos: Mathematical Biosciences, Journal of Mathematical Biology, Theoretical Biology, Biometrics, Ecology, Journal of Animal Ecology, etc. Devem limitar-se às revistas dos anos mais recentes (últimos 5 anos), mas outras escolhas são possíveis com o acordo do docente.

O trabalho deve ser entregue o mais tardar até 19 de Jeniro de 2010 (ou até 21 de Setembro de 2010 se fizer exame na época especial).

Indicam-se a seguir alguns critérios de avaliação deste trabalho:

1) Grau de entendimento do artigo

a) Compreensão do artigo em geral

b) Compreensão dos aspectos particulares do artigo

c) Compreensão de conceitos complementares e referências a outras fontes bibliográficas (incluindo outras áreas de conhecimento que não a Matemática ou a Estatística)

2) Redacção

a) Parafrasear vs traduzir ou copiar o que está no artigo

b) Erros de interpretação ou na cópia de fórmulas

3) Relação entre o conteúdo do artigo e conceitos relevantes da cadeira

a) Conceitos novos aprendidos

b) Conceitos revistos

4) Apresentação

a) Dactilografado

b) Sumário introdutório com objectivos claros

c) Desenvolvimento com alguma estrutura (ex: métodos, análise, exemplos, resultados)

d) Conclusões

5) Análise

a) Desenvolvimento segundo as componentes do guião acima indicado, especificando os pontos A), B) C) e D)

b) A discussão é muito importante

PROGRAMA PREVISTO

1. Introdução aos ecossistemas e à modelação de populações

2. Modelos matemáticos de crescimento populacional:

a) modelos determinísticos em tempo discreto;

b) modelos determinísticos em tempo contínuo;

c) modelos estocásticos (processos de nascimento e morte, equações diferenciais estocásticas);

3. Introdução aos modelos genéticos de populações diplóides

4. Modelos de utilização de recursos biológicos renováveis

5. Modelos estruturados de população

a) modelos demográficos e similares;

b) modelos de dispersão espacial.

6. Modelos matemáticos de ecosistemas (competição, predação, outras interacções, ecosistemas)

7. Modelos epidemiológicos determinísticos

8. Estimação de tamanhos e parâmetros demográficos de populações

O objectivo é de, em relação a alguns aspectos importantes da biologia das populações, dar uma panorâmica de utilizações de diversos tipos de modelos matemáticos a par com uma visão do problema biológico em causa. Focar-se-ão também métodos de simulação numérica e de estimação de parâmetros dos modelos.

BIBLIOGRAFIA GERAL

Para além de artigos publicados em revistas da especialidade e de várias outras obras (a indicar a respeito de cada matéria), aconselha-se a bibliografia que se segue (** ou * para as obras consideradas mais importantes para esta primeira abordagem da matéria). Em cada sessão serão indicados os capítulos mais pertinentes (para a matéria dessa sessão) da bibliografia fundamental, bem como eventuais outras leituras complementares em livros e revistas.

· Arnold (1974). Stochastic Differential Equations: Theory and Applications. Wiley, New York. (2c)

· Bailey, N. T. J. (1964; Wiley Classics Library Edition 1990). The Elements of Stochastic Processes with applications to the natural sciences. Wiley, New York. (2c,7)

· *Braumann, C. A. (2005). Introdução às Equações Diferenciais Estocásticas e Aplicações. Edições SPE, Lisboa. (2c)

· Caswell, H. (1989, 2^nd edition 2001). Matrix Population Models: Construction, Analysis, and Interpretation. Sinauer, Sunderland, Massachusetts. (5a)

· Crow, J. F. & Kimura, M. (1970). An Introduction to Population Genetics Theory. Harper & Row, New York. (3)

· Doolittle, D. P. (1987). Population Genetics: Basic Principles.Springer-Verlag, Berlin. (3)

· Edelstein-Keshet, L. (1988). Mathematical Models in Biology, Random House, New York. (geral, útil para uma primeira abordagem)

· *Frauenthal, J. C. (1980). Mathematical Modeling in Epidemiology. Springer-Verlag, Berlin. (7)

· Getz, W. M. (1989). Population Harvesting. Demographic models of fish, forest, and animal resources. Princeton University Press, Princeton, New Jersey. (4,5a)

· **Ginzburg, L. R. e Golenberg, E. M. (1985). Lectures in Theoretical Population Biology. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey. (2ab,3,5a,6; muito elementar mas útil para uma primeira abordagem)

· **Hallam, T. G. e Levin, S. A. (editores) (1986). Mathematical Ecology. An Introduction. Springer-Verlag, Berlin. (2,4, 5, 6,7)

· Hastings, A. (1997). Population Biology. Concepts and Methods, Springer, N. Y. (2ab,3,5a,6; muito elementar mas útil para uma primeira abordagem)

· Hillion, A. (1986). Les théories Mathématiques des Populations. Colecção “Que sais-je?”, Presses Universitaires de France, Paris (2,5,6,7; elementar)

· Hirsch, M. W. and Smale S. (1974). Differential Equations, Dynamical Systems, and Linear Algebra. Academic Press, New York. (útil para rever conceitos sobre equações diferenciais)

· Hoppensteadt, F. C. e Peskin, C. S. (1992). Mathematics in Medicine and the Life Sciences. Springer-Verlag, New York. (2ab,3,4,5ab,7, fisiologia e morfologia)

· *Karlin, S. e Taylor, H. M. (1975). A First Course in Stochastic Processes. (second edition). Academic Press, New York. (2c)

· Karlin, S. e Taylor, H. M. (1981). A Second Course in Stochastic Processes. Academic Press, Orlando. (2c)

· Luenberger, D. G. (1979). Introduction to Dynamic Systems: Theory, Models, and Applications. John Wiley and Sons. New York. (útil para uma primeira abordagem e para rever conceitos gerais).

· Mangel, M. (editor) (1990). Classics of Theoretical Biology (Part one). Special issue of the Bulletin of Mathematical Biology 52 (1/2). (biologia do desenvolvimento, neurofisiologia, 3; textos clássicos e comentários)

· Mangel, M. (editor) (1991). Classics of Theoretical Biology (Part two). Special issue of the Bulletin of Mathematical Biology 53 (1/2). (4,5b,6; textos clássicos e comentários)

· Mangel, M. (editor) (1992). Bioeconomics and Behavioural Ecology. Special issue of the Bulletin of Mathematical Biology 54 (2/3). (ecologia do comportamento, neurofisiologia, 4)

· **Murray, J. D. (1989, third edition, 2003). Mathematical Biology. Springer-Verlag, Berlin. (2ab,4,5ab,6,7; inclui também modelos fisiológicos e de evolução e desenvolvimento de organismos vivos)

· Nagilaky, T. (1992). Introduction to Theoretical Population Genetics. Springer-Verlag, Berlin. (2ab,3,5a)

· Øksendal, B. (1985; sixth edition 2003). Stochastic Differential equations. An Introduction with Applications. Springer-Verlag. Berlin. (2c)

· Scudo, F. M. e Ziegler, J. R. (1978). The Golden Age of Theoretical Ecology:1923-1940. A Collection of Works by V. Volterra, V. A. Kostitzin, A. J. Lotka and A. N. Kolmogoroff. Springer-Verlag, Berlin. (2ab,3,65; colecção de textos clássicos) (1a, 1b, 4, 6

· *Seber, G. A. F. (1982). The estimation of animal abundance and related parameters (2nd ed.), London: Charles W. Griffin. (8)

· Tuljapurkar, S. D. (1990). Population Dynamics in Variable Environments. Springer-Velarg, New York. (5)

· Tuljapurkar, S. D. e Caswell, H. (1996). Structured-Population Models in Marine, Terrestial, and Freshewater Systems. Population and Community Biology, Series 18. Chapman and Hall. (5)

· Williams, B.K, Nichols, J.D., and Conroy, M. (2002). Analysis and Management of Animal Populations. Academic Press. (8).

· Wilson, E. O. e Bossert, W. H. (1971). A Primer of Population Biology. Sinauer, Sunderland, Massachusetts. (2ab,3,5a,6; muito elementar mas útil para uma primeira abordagem)

· Yodzis, P. (1989). Introduction to Theoretical Ecology. Harper & Row, New York. (2ab,4,5ab,6)

Trabalho para casa nº 1 A entregar até 4 de Dezembro de 2009

Trabalho para casa nº 2 A entregar até 15 de Dezembro de 2009

Outros EXERCÍCIOS

SUMÁRIOS

1ª AULA 9 Out 2009 17:00 - 20:00 + 21:00-23:00

2ª AULA 17 Out 2009 16:00-21:00

3ª AULA 23 Out 2009 17:00-21:00

4ª AULA 30 Out 2009 17:00-21:00

5ª AULA 13 Nov 2009 17:00-21:00

6ª AULA 14 Nov 2009 15:00-20:00

7ª AULA 20 Nov 2009 17:00-21:00