Exercícios 3D

Reveja a matéria de Álgebra Linear e de Geometria Analítica.

Geometria 3D

Exercício 1

Vetor Perpendicular 1

Dados dois vetores 3D $u=(u_x,u_y,u_z)$ e $v=(v_x,v_y,v_z)$, como é que encontra um terceiro vetor $w=(w_x,w_y,w_z)$ perpendicular a ambos?

Exercício 2

Vetor Perpendicular 2

Como é que adapta a resolução do exercício anterior para o caso em que, em vez de dois vetores, são dados três pontos 3D, $A=(A_x,A_y,A_z),B=(B_x,B_y,B_z)$ e $C=(C_x,C_y,C_z)$?

Programação 3D

Exercício 3

Distância

Implemente uma função dist(p, q) que calcula a distância entre dois pontos. Suponha que os pontos são definidos por objetos {x, y, z}.

Exercício 4

Produto Externo

Implemente a função outer(u, v) que calcula o produto externo entre dois vetores.

Supondo que $w=u\otimes v$, então as componentes de $w$ podem ser calculadas por $$w_x\mathbf{x}+w_y\mathbf{y}+w_z\mathbf{z}=\left|\begin{array}{ccc}\mathbf{x}& \mathbf{y}& \mathbf{z}\\ u_x& u_y& u_z\\ v_x& v_y& v_z\end{array}\right|$$

Exercício 5

Conjuntos de Pontos

1. Centro. Implemente a função center(points) que calcula o centro de um array de pontos.
2. Próximo. Implemente a função nearest(target, points) em que target é um ponto 3D e points é um array de pontos 3D e que encontra o elemento de points que está mais próximo de target.

• A sua função deve devolver um objeto com atributos {d, p} em que d é a distância e p o ponto mais próximo.

3. Afastado. Implemente a função farthest(target, points) em que target é um ponto 3D e points é um array de pontos 3D e que encontra o elemento de points que está mais afastado de target. Resolva de forma semelhante à alínea anterior.
4. «Mais Isolado». Implemente a função loneliest(points) em que points é um array de pontos 3D e que encontra o ponto «mais isolado» de um conjunto de pontos. O ponto «mais isolado» é o que está mais distante do centro.
5. «Mais Central». Implemente a função centralest(points) em que points é um array de pontos 3D e que encontra o ponto «mais central» de um conjunto de pontos. O ponto «mais central» é o que está mais perto do centro.
6. Canto Superior Direito Anterior. Implemente a função corner_trf(points) (trf: top right front) em que points é um array de pontos 3D e que encontra o «canto superior direito anterior» (SDA) de um conjunto de pontos. As coordenadas do SDA são os valores máximos nos eixos $x$, $y$ e $z$. Por exemplo:

   let points =  [
       {x: -1, y: 2, z: 0},
       {x: 20, y: 1, z: 3}
   ];
   
   {x: 20, y: 2, z: 3} === corner_trf(points);
   

7. Canto Inferior Esquerdo Posterior. Implemente a função corner_llb(points) (llb: lower left back) nos mesmos moldes do exercício anterior, substituindo o máximo pelo mínimo.
8. Pontos Mais Afastados. Implemente a função most_apart(points) em que points é um array de pontos 3D e que encontra os dois elementos de points que estão mais afastados um do outro. Isto é, se $p,q$ forem esses pontos então, dados quaisquer dois pontos $a$ e $b$ em points então dist(a,b) <= dist(p,q).
9. Pontos Menos Afastados. Implemente a função least_apart(points) em que points é um array de pontos 3D e que encontra os dois elementos distintos de points que estão menos afastados um do outro. Isto é, se $p,q$ forem esses pontos então, dados quaisquer dois pontos $a$ e $b$ em points então dist(a,b) >= dist(p,q).

Exercício 6

Processamento de Extrusões

Na construção de uma extrusão a secção percorre a espinha. Suponha que:

• A secção é definida por um array de pontos 2D {x, z} (note que é usado z e não y).
• A espinha é definida por um array de vetores 3D {x, y, z}.

Estes dois parâmetros definem os vértices da geometria obtida por extrusão.

Mais concretamente, cada ponto p:{x, z} da secção e cada vetor v:{x, y, z} da espinha definem o vértice q = {x: p.x + v.x, y: v.y, z: p.z + v.z} da extrusão.

Por exemplo, dados

const seccao = [
    {x: 0.0, z: 0.0},
    {x: 1.0, z: 0.0},
    {x: 0.0, z: 1.0} ];

const espinha = [
    {x: 0.0, y: 0.0, z: 0.0},
    {x: 0.0, y: 1.0, z: 0.0},
    {x: 1.0, y: 2.0, z: -1.0} ];

o ponto

seccao[2] === {x: 0.0, z: 1.0}

e o vetor

espinha[1] === {x: 0.0, y: 1.0, z: 0.0}

definem o vértice

{x: 0.0, y: 1.0, z: 1.0}

Escreva a função vertex(i, j, section, spine) que devolve as coordenadas xyz do vértice definido pelo i-ésimo ponto da secção e pelo j-ésimo passo da espinha.

• Por exemplo, usando as variáveis acima, vertex(1, 2, seccao, espinha) é o ponto 3D {x: 2.0, y: 2.0, z: -1.0}, que resulta do ponto {x: 1.0, z: 0.0} (com índíce i = 1) e do vetor {x: 1.0, y: 2.0, z: -1.0} (com indíce j = 2).
• Assegure-se que i e j são índices válidos. Se não o forem a função deve devolver null.

Exercício 7

Grelha de elevação em 3JS.

A biblioteca 3JS não tem um construtor «direto» equivalente à ElevationGrid do X3D.

Estude este elemento, determine três parâmetros que mais contribuem para esta geometria e faça uma implementação para o 3JS.

Modelação 3D

Resolva cada um destes exercícios usando as duas bibliotecas gráficas, X3D e 3JS.

Exercício 8

Desenhar um referencial.

Desenhe um referencial XYZ. Assegure-se que os eixos estão corretamente orientados e use o seguinte esquema de cores: X:red; Y:green; Z:blue.

Exercício 9

Desenhar uma pirâmide.

Desenhe uma pirâmide em wireframe.

Exercício 10

Desenhar um frustum.

Um frustum (veja também o artigo na wikipédia) é um poliedro (isto é, um sólido com todas as faces planas) com duas das faces quadradas paralelas (o topo e a base).

Desenhe em wireframe um frustum com altura 1, em que a base é um quadrado de lado 2 e o topo um quadrado de lado 1.

Exercício 11

Desenhar um octaedro.

Um octaedro é um dos cinco sólido platónicos (veja o artigo na wikipédia); tem oito faces triangulares e seis vértices:

$$(0,0,-1),(-1,0,0),(0,-1,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$$

Desenhem um octaedro em wireframe.

Exercício 12

Desenhar um icosaedro.

Um icosaedro é um dos cinco sólido platónicos (veja o ) e tem os vértices seguintes:

$$\begin{array}{rlrlrlr}& & (0,\varphi ,1)& & (0,\varphi ,-1)& & \\ & & (-\varphi ,1,0)& & (\varphi ,1,0)& & \\ (1,0,\varphi )& & (1,0,-\varphi )& & (-1,0,-\varphi )& & (-1,0,\varphi )\\ & & (-\varphi ,-1,0)& & (\varphi ,-1,0)& & \\ & & (0,-\varphi ,-1)& & (0,-\varphi ,1)& & \end{array}$$ onde $\varphi =\frac{\sqrt{5}+1}{2}$.

Desenhe um icosaedro em wireframe.

Exercício 13

Pintar uma pirâmide.

Desenhe uma pirâmide com as texturas de difusão, brilho e normais obtidas de imagens feitas ou encontradas por si. Seja realista.

Exercício 14

Pintar uma tenda.

Os vértices de uma tenda estão dados abaixo

$$\begin{array}{rlr}& (0.0,1.5,0.0)& \\ & & \\ (-.7,1.0,0.7)& & (0.7,1.0,0.7)\\ (0.7,1.0,-.7)& & (-.7,1.0,-.7)\\ & & \\ (-1.,0.0,1.0)& & (1.0,0.0,1.0)\\ (1.0,0.0,-1.)& & (-1.,0.0,-1.)\end{array}$$

Desenhe uma tenda pintada com texturas feitas (ou encontradas) por si. Seja realista.