Exercícios 2D

Reveja a matéria de Álgebra Linear e de Geometria Analítica.

Geometria 2D

Distância de um ponto a uma reta

A distância ($\color{seagreen}{d}$) entre o ponto vermelho ($\color{crimson}{A}$) e a reta azul é a distância entre o ponto vermelho ($\color{crimson}{A}$) e o ponto azul ($\color{steelblue}{B}$).
O ponto azul ($\color{steelblue}{B}$) é a interseção entre a reta azul e a reta verde tracejada.
A reta verde tracejada tem equação paramétrica $\color{seagreen}{X = A + \lambda u}$; falta determinar o vetor $u$.
O vetor $u$ da reta verde tracejada é perpendicular ao vetor $v$ da equação paramétrica reta azul ($\color{steelblue}{X = B + \lambda v}$): $$u = (u_x, u_y) = (-v_y, v_x)$$

Exercício 1

Considere a equação paramétrica da reta, $X = P + \lambda v$.

Suponha que são dados dois pontos, $A = (a_x, a_y)$ e $B=(b_x, b_y)$.

Determine os valores dos parâmetros $P, v$ da reta que passa em $A, B$ e tais que:

$A = P + \lambda v$ quando $\lambda = 0$ e
$B = P + \lambda v$ quando $\lambda = 1$.

Exercício 2

Escreva uma expressão matemática para definir:

Os segmentos de reta $(0,0) - (0,1)$, $(0,0) - (1,0)$ e $(0,0) - (1,1)$.
O triângulo de vértices $(0,0) - (0,1) - (1,0)$.
O quadrado $(0,0) - (1,0) - (1,1) - (0,1)$.
O interior do quadrado e triângulo anteriores.

Exercício 3

Encontre os valores dos parâmetros da equação paramétrica:

Da reta:
1. Que passa nos pontos $(0,0)$ e $(0,1)$.
2. Que passa nos pontos $(0,0)$ e $(1,0)$.
3. Que passa nos pontos $(0,0)$ e $(1,1)$.
Da reta com equação algébrica:
1. $2x + 3y - 4 = 0$.
2. $3x - 2y - 4 = 0$.
3. $4x + 6y - 8 = 0$.
Da circunferência:
1. Centrada em $(0,1)$ e de raio $2$.
2. Centrada em $(1,0)$ e de raio $2$.
3. Centrada em $(1,1)$ e de raio $2$.
4. Centrada em $(0,1)$ e que passa no ponto $(0,0)$.
5. Centrada em $(1,0)$ e que passa no ponto $(0,0)$.
6. Centrada em $(1,1)$ e que passa no ponto $(0,0)$.

Programação 2D

Reveja a programação, em particular a linguagem JavaScript.

Exercício 4

Calcule os parâmetros $A, B, C$ da equação algébrica da reta ($Ax + By + C = 0$), dadas as coordenadas $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ de dois pontos.

Implemente a função eqna_s(x1, y1, x2, y2) que devolve um objeto com atributos {A, B, C}.
Em que casos é que as entradas x1, y1, x2, y2 não definem uma reta? No seu código detete esse caso e devolva null.
Em que casos é que $A_1, B_1, C_1$ define a mesma reta que $A_2, B_2, C_2$? Implemente uma função equala_ss(A1, B1, C1, A2, B2, C2) que devolve true se os parâmetros definem a mesma reta e false caso contrário.

Exercício 5

Calcule os parâmetros $P, v$ da equação paramétrica da reta ($X = P + \lambda v$), dadas as coordenadas $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ de dois pontos.

Implemente a função eqnp_s(x1, y1, x2, y2) que devolve um objeto com atributos {P, v}.
Em que casos é que as entradas x1, y1, x2, y2 não definem uma reta? No seu código detete esse caso e devolva null.
Em que casos é que os parâmetros $P_1, v_1$ definem a mesma reta que os parâmetros $P_2, v_2$? Implemente uma função equalp_ss(P1, v1, P2, v2) que devolve true se os parâmetros definem a mesma reta e false caso contrário.

Exercício 6

Implemente uma função dot(x1, y1, x2, y2) para calcular o produto interno $$(x_1, y_1) \cdot (x_2, y_2) = x_1 x_2 + y_1 y_2$$

Use essa função para implementar funções para calcular:

O comprimento de um vetor, length_v: $|v| = \sqrt{v\cdot v}$.
A distância entre dois pontos, dist_pp: $d(A,B) = | B - A |$.
A distância de um ponto a uma reta, dist_ps. Sugestão: Use a equação paramétrica da reta.
O «reflexo» de um ponto por uma reta, mirror_ps.
O «reflexo» de uma reta por outra reta, mirror_ss.
Se duas retas são perpendiculares, are_perp.

Exercício 7

Pode gerar pontos de uma circunferência usando uma equação paramétrica.

Implemente a função points_c(x1, y1, r, n) que gera uma lista com $n$ pontos equidistantes da circunferência de centro $(x_1, y_1)$ e raio $r$.

Use a função points_c para estimar a distância de uma circunferência a:

Um ponto: edist_cp.
Uma reta: edist_cl.
Outra circunferência: edist_cc.

Exercício 8

Pode gerar pontos de um segmento de reta usando os dois extremos do segmento e uma equação paramétrica.

Implemente a função points_s(x1, y1, x2, y2, n) que gera uma lista com $n$ pontos equidistantes do segmento limitado pelos pontos $(x_1, y_1)$ e $(x_2, y_2)$. Sugestão: Use a equação vetorial da reta: $$ (x,y) = (x_1, y_1) + \lambda ( x_2 - x_1, y_2 - y_1 ) $$

Estime a distância de um segmento de reta a:

Um ponto: edist_sp.
Outro segmento de reta: edist_ss.
Uma circunferência: edist_sc. Suponha que esta circunferência:
1. Está definida por centro e raio.
2. Está aproximada por um conjunto de pontos.

Exercício 9

A forma de representar as coordenadas dos pontos usada acima é muito «trapalhona».

Em vez de usar x1, y1 (ou outros indíces) use listas, P1 = [x1, y1], para representar pontos. Atualize todas as funções anteriores.

Por exemplo, x = dot(P, Q).

Exercício 10

Pode obter formas simples usando apenas conjuntos de pontos para definir o contorno do objeto gráfico.

Implemente:

A função join(A, B) em que A e B são listas de pontos e que devolve a lista que resulta de acrescentar os pontos de B a seguir aos pontos de A.
A função frame(A) que calcula os cantos superior esquerdo e inferior direito dos pontos em A, isto é, a moldura para os pontos de A.
A função min_circ(A) que calcula a menor circunferência que contém todos os pontos de A. Resolva em duas versões: uma que devolve o centro e o raio da circunferência e outra que devolve uma aproximação com $n$ pontos.

Exercício 11

Pode transformar pontos usando as operações da álgebra linear.

Implemente a função [x1, y1, z1] = dot_mv(a,b,c,d,e,f,g,h,i,x0,y0,z0) que calcula $$\begin{bmatrix} x_1 \cr y_1 \cr z_1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & b & c \cr d & e & f \cr g & h & i \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_0 \cr y_0 \cr z_0 \end{bmatrix}. $$

Esta forma de representar matrizes e vetores é muito «trapalhona».

Represente os vetores por listas, v = [x, y, z], e as matrizes por listas de listas, A = [[a, b, c], [d, e, f], [g, h, i]]. Note que A[0] é a primeira linha de A.

Deve ficar com uma função X1 = dot_mv(A, X0).

Exercício 12

Implemente funções para gerar matrizes e calcular operações comuns.

A matriz zeros(n,m) tem $n$ linhas, $m$ colunas e todas as entradas são $0$.
Na matriz ones(n, m) tem $n$ linhas, $m$ colunas e todas as entradas são $1$.
A matriz eye(n) é a matriz identidade de ordem $n$.
A função t(A) é a matriz transposta de $A$.
A função sum_mm(A, B) soma as matrizes $A$ e $B$. Se as dimensões forem incompatíveis, devolve null.
A função dot_mm(A, B) multiplica as matrizes $A$ e $B$. Se as dimensões forem incompatíveis, devolve null.
A função translate(dx, dy) devolve a matriz da translação por $(dx, dy)$.
A função rotate(alpha) devolve a matriz da rotação por $\alpha$ radianos.
A função scale(sx, sy) devolve a matriz da escala por $(sx, sy)$.

Exercício 13

Use a biblioteca de funções que definiu acima para construir e transformar (aproximações) de circunferências e de segmentos.

Visualize as formas originais (a verde) e transformadas (a vermelho) nos sistemas C2D e SVG.

Exercício 14

Implemente a regra par-ímpar de enchimento de formas.

Suponha que F é um conjunto de pontos que aproxima uma figura 2D:

Defina a função sort_h(F) que devolve os pontos de F ordenados da esquerda para a direita (isto é, primeiro os pontos com menor coordenada x).
Defina a função strip_h(F, y0, e) que devolve os pontos de F que estão numa faixa horizontal, isto é os pontos de F cuja coordenada $y$ é tal que $\left| y - y_0 \right| \leq e$. Se não existirem pontos assim em F, devolve a lista vazia.
Defina a função first_left(F) que devolve o ponto mais à esquerda de F. Se F for uma lista vazia devolve null.
Defina a função next_right(F, x0) que devolve o ponto de F que, de todos os pontos de F com coordenada x maior que x0, é o que tem menor coordenada x. Se não existir tal ponto devolve null.
Use as funções sort_h, strip_h, first_left e next_right para definir a função fill_evenodd(F, ...), que implementa a regra par-ímpar por faixas horizontais.
- O resultado deve ser uma lista com os segmentos horizontais interiores, sendo cada segmento definido por dois pontos.
- Considere ainda que argumentos são úteis e/ou necessário e como detetar e assinalar potenciais erros.

Exercício 15

Visualize o preenchimento de formas pela regra par-ímpar.

Use vermelho para a forma e verde para o interior. Resolva esta alínea para os sistemas C2D e SVG.

Exercício 16

Visualize o interior da forma usando os sistemas C2D e SVG com:

Um gradiente horizontal com várias cores (pelo menos 3).
Um gradiente vertical com várias cores (pelo menos 3).
Um padrão xadrez.

Meia Lua	Yin-Yang

Escreva um programa para o C2D, e um documento SVG para desenhar:

Uma meia lua (ver acima).
Um quadrado centrado e rodado 45º.
Um tabuleiro de xadrez.
Um tabuleiro tri-colorido. Generalize para uma função que desenhe um tabuleiro $n$-colorido.
→ O símbolo oriental Yin-Yang (ver acima).
Um retângulo pintado com um gradiente radial acíclico.
Um retângulo pintado \com um gradiente radial cíclico.
→ Um octógono. Generalize para um $n$-ágono.
→ Uma estrela de cinco pontas. Generalize para $n$ pontas.
Desenhe a bandeira da união europeia.

Exercício 23

Implemente uma função grafico(f, n, a, b) para ajudar a desenhar o gráfico de uma função matemática.

Esta função devolve $n$ pontos $(x_i, f(x_i))$ do gráfico da função $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, com as abcissas $x_i$ igualmente espaçadas entre $a$ e $b$ (e $x_0 = a, x_{n-1} = b$).
Implemente funções para adaptar as listas $[(x_0, f(x_0)), \ldots, (x_{n-1}, f(x_{n-1}))]$ a caminhos C2D e SVG.

Exercício 24

Implemente uma pequena biblioteca gráfica 2D.

Suponha que cada objeto gráfico é definido por:

Um caminho, isto é uma lista de pontos x, y.
Uma transformação com uma translação, uma rotação e uma escala.
Propriedades de aspeto (stroke e fill).

Implemente uma função para desenhar estes objetos gráficos num C2D e para produzir um elemento SVG.

Computação Gráfica