Suponhamos que nos são dadas variedades Riemannianas
e
, ie. variedades com métricas
. Suponhamos que é dada uma função
também
. Um teorema devido a A. Sard (de 1942) diz-nos que os pontos críticos6 de
formam um conjunto de medida nula. Dito de outra forma, quase todos os valores que
toma são regulares.
Uma consequência mais avançada do teorema7 da função inversa mostrará que os subconjuntos
Assim, dada ainda mais uma função escalar
para dar razão a este esforço, temos uma nova função definida quase por todo o
:
Suponhamos
sobrejectiva. Para cada
podemos definir o Jacobiano de
Note-se que
é sobrejectiva num valor regular
. Por outro lado, se
é um ponto crítico, então
. O seguinte teorema remonta ao grande matemático H. Poincaré (1854-1912).
rpa 2007-11-14