O teorema de Fubini em variedades

Suponhamos que nos são dadas variedades Riemannianas $M$ e $N$ , ie. variedades com métricas ${\mathrm{C}}^\infty_{}$ . Suponhamos que é dada uma função $f:M\rightarrow N$ também ${\mathrm{C}}^\infty_{}$ . Um teorema devido a A. Sard (de 1942) diz-nos que os pontos críticos⁶ de $f$ formam um conjunto de medida nula. Dito de outra forma, quase todos os valores que $f$ toma são regulares.

Uma consequência mais avançada do teorema⁷ da função inversa mostrará que os subconjuntos

$${f}^{-1}(q)=\bigl\{x\in M:\ f(x)=q\bigr\},\quad\quad q\in N\$$ (19)

são subvariedades mergulhadas, isto é, comportam-se muito bem quando $q$ é valor regular: existe uma carta especial $(x_1,\ldots,x_m)$ de $M$ onde esses conjuntos serão dados por equações

$$x_{m-n+1}=0,\ \ldots,\ x_m=0$$ (20)

(cf. figura 8, a tracejado). Repare-se que $M=\cup_{y\in N}\,{f}^{-1}(y)$ .

Figura: Se dim$M=n$ , dim$N=n$ e $q\in N$ é valor regular, então $f^{-1}(q)$ é variedade suave de dimensão $m-n$ .

Assim, dada ainda mais uma função escalar $\Phi:M\rightarrow {\mathbb{R}}$ para dar razão a este esforço, temos uma nova função definida quase por todo o $N$ :

$$q\in N\longmapsto\int_{{f}^{-1}(q)}\Phi(x)\,\Omega_{{f}^{-1}(q)}(x),$$ (21)

ver (12). Em particular, se for $\Phi=1$ , temos o volume de cada ${f}^{-1}(q)$ .

Suponhamos $f$ sobrejectiva. Para cada $x\in M$ podemos definir o Jacobiano de $f$

$$(Jf)(x)=\vert\det\langle {\mathrm d}f_x(e_i),f_j\rangle\vert=\Vert{\mathrm d}f_x(e_1)\wedge\cdots\wedge{\mathrm d}f_x(e_n)\Vert$$ (22)

onde $e_1,\ldots,e_n$ é uma base ortonormada ( $\langle e_i,e_j\rangle=\delta_{ij}$ ) do subespaço ortogonal a $\ker{\mathrm d}f_x$ e $f_1,\ldots,f_n$ é uma base ortonormada de $T_{f(x)}N$ . Prova-se facilmente que $Jf$ não depende da escolha de tais bases.

Note-se que ${\mathrm d}f_x:T_xM\rightarrow T_yN$ é sobrejectiva num valor regular $y=f(x)$ . Por outro lado, se $x$ é um ponto crítico, então $(Jf)(x)=0$ . O seguinte teorema remonta ao grande matemático H. Poincaré (1854-1912).

Teorema 6 (fórmula cinemática, cf. [10])   Se $\Phi$ é mensurável à Borel e tal que $x\mapsto\Phi(x)Jf(x)$ é integrável em $M$ , então a função (21) é integrável e

$$\int_N\biggl(\int_{{f}^{-1}(y)}\Phi(x)\Omega_{{f}^{-1}(y)}(x)\biggr)\Omega_{N}(y)= \int_M\Phi(x)Jf(x)\Omega_M(x).$$ (23)

Este teorema exprime a forma mais geométrica do conhecido teorema de Fubini.