O grupo ortogonal

Consideremos $SO(n)$ o grupo das isometrias de ${\mathbb{R}}^n$ de determinante 1: transformações lineares do espaço preservando a métrica euclidiana e a orientação. A sua composição, vindo de $\langle gu,gv\rangle=\langle u,v\rangle, \ \forall u,v\in{\mathbb{R}}^n$ , é a das matrizes $g$ tais que $g^tg=1$ e $\det g=1$ . Temos de facto um grupo. Claro que da primeira equação resulta logo $\det g=\pm1$ e nós escolhemos a parte que tem det 1.

Mais, $SO(n)$ é variedade compacta (fácil) e conexa (difícil). Eis duas propriedades topológicas importantíssimas na compreensão da geometria do grupo ortogonal.

Seja $M$ o espaço vectorial de todas as matrizes $a$ de ordem $n$ e seja $N$ o subespaço daquelas que são simétricas. Seja $f:M\rightarrow N$ definida por $f(x)=x^tx$ . Então ${f}^{-1}(1)=SO(n)\cup SO(n)^-$ . Claro que $SO(n)^-$ se refere aos $g$ tais que $g^tg=1$ e $\det g=-1$ .

As direcções em $M$ tangentes a ${f}^{-1}(1)$ são aquelas sobre as quais $f$ não varia, e recíprocamente pois 1 é valor regular. Com efeito, prova-se que $T_g(SO(n))=\ker{\mathrm d}f_g$ . Como pela regra de Leibniz

$${\mathrm d}f_g(X)=X^tg+g^tX,$$

no ponto $g=1$ vem $T_g(SO(n))=\ker{\mathrm d}f_g=\{X\in M:\ X^t+X=0\}$ , ou seja todas as matrizes anti-simétricas. Agora torna-se muito fácil ver a dimensão de $SO(n)$ : um vector tangente é uma matriz anti-simétrica, portanto descrita pelas entradas do triângulo acima da diagonal principal e excluindo esta por ser nula. Contando, temos a fórmula

$$\dim SO(n)=\frac{n(n-1)}{2}.$$ (24)

Por exemplo, um ângulo dá-nos as rotações de ${\mathbb{R}}^2$ e três parâmetros as de ${\mathbb{R}}^3$ , mas são precisos seis para coordenar as rotações de ${\mathbb{R}}^4$ ...