A esfera como espaço de órbitas

Agora voltemos à superfície esférica de raio 1 de dimensão $n-1$ , denotada por $S^{n-1}\subset{\mathbb{R}}^{n}$ . Fixemos uma direcção $e_n$ qualquer perpendicular a um subespaço ${\mathbb{R}}^{n-1}\subset{\mathbb{R}}^n$ . O grupo ortogonal actua na esfera rodando-a sobre si mesma. $f:SO(n)\rightarrow S^{n-1}$ actua como $g\mapsto g(e_n)$ , uma função sobrejectiva, ${\mathrm{C}}^\infty_{}$ e regular.

Quais são os $g$ que fixam $e_n$ ? São precisamente os que só rodam ${\mathbb{R}}^{n-1}$ , donde a escrita do `espaço simétrico'

$$SO(n)/SO(n-1)=S^{n-1}$$ (25)

como um espaço de órbitas $\{SO(n-1)g:\ g\in SO(n)\}$ .

Com algum cuidado pode-se provar que $Jf(g)=1$ . Resulta então do teorema 6, chamemos-lhe de Fubini-Poincaré, lendo a fórmula (23), que

$${\mathrm{vol}}\,SO(n)={\mathrm{vol}}\,S^{n-1}\,{\mathrm{vol}}\,SO... ...-1}\,{\mathrm{vol}}\,S^{n-2}\,\cdots{\mathrm{vol}}\,S^{1}\,{\mathrm{vol}}\,S^0.$$ (26)

A última igualdade resulta claramente por indução. Como por outras vias se conhece o volume das esferas

$${\mathrm{vol}}\,S^{n-1}=\left\{\begin{array}{ll} \frac{(2\pi)^\fr... ...\frac{n-1}{2}}{1\cdot 3\cdots n-2} & \mbox{para $n$\ ímpar}, \end{array}\right.$$ (27)

eg. generalizando (16) ou consultando [6], vem

$${\mathrm{vol}}\,SO(n)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{2^\frac{n(n+... ...}}{\prod_{i=0}^{(n-3)/{2}}(2i+1)!} & \mbox{para $n$\ ímpar.} \end{array}\right.$$ (28)

Com este resultado da matemática do século XX terminamos esta breve exposição da geometria diferencial, lembrando que há muitos volumes ainda por calcular de variedades muito importantes e que de ideias novas para tal está o evoluir da Ciência dependente.