Dois casos conhecidos

Há dois casos onde a teoria acima surge logo numa expressão conhecida.

Se por exemplo $\gamma:[a,b]\rightarrow {\mathbb{R}}^n$ é uma curva simples ${\cal C}=\gamma([a,b])$ num intervalo $[a,b]$ e a métrica no seu espaço tangente é aquela própria e rígida do espaço ambiente ${\mathbb{R}}^n$ , então

$$\,{\cal C}=\int_a^b\Vert\gamma'(t)\Vert\,{\mathrm d}t.$$ (13)

A dedução é simples: uma carta de $\gamma$ , de acordo com o exposto acima, é dada pela inversa $\varphi={\gamma}^{-1}$ e logo $\partial^\varphi=\frac{{\mathrm d}\gamma}{{\mathrm d}t}$ .

O segundo caso é em dimensão 2, quando temos uma porção de superfície ${\cal S}$ em ${\mathbb{R}}^3$ dada por uma equação $z=f(x_1,x_2)$ , com $(x_1,x_2)\in D\subset{\mathbb{R}}^2$ . Então cada ponto $p=(x_1,x_2,f(x_1,x_2))\in{\cal S}$ fica coordenado pela carta $\varphi:{\cal S}\rightarrow D,\ \varphi(p)=(x_1,x_2)$ . Os vectores coordenados tangentes são

$$\partial_{1}=\Bigl(1,0,\frac{\partial f}{\partial x_1}\Bigr),\qquad \partial_{2}=\Bigl(0,1,\frac{\partial f}{\partial x_2}\Bigr).$$ (14)

Logo $\langle\partial_{1},\partial_{1}\rangle=1+(\frac{\partial f}{\partial x_1})^2,... ...\ \langle\partial_{2},\partial_{2}\rangle=1+(\frac{\partial f}{\partial x_2})^2$ , donde

$$\det G^\varphi=\det\left[\begin{array}{cc} 1+(f_{x_1}')^2 & f'_{x... ..._{x_1}f'_{x_2} & 1+(f_{x_2}')^2 \end{array}\right]=1+(f_{x_1}')^2+(f_{x_2}')^2.$$ (15)

Assim a área de uma superfície (dimensão 2) é dada por

$$\,{\cal S}=\iint_D\sqrt{1+(f_{x_1}')^2+(f_{x_2}')^2}\,{\mathrm d}x_1{\mathrm d}x_2,$$ (16)

uma fórmula bem conhecida.

Vejamos ainda outro exemplo. Na esfera $S^2_r$ com a métrica do espaço euclidiano ambiente, com as coordenadas cilíndricas $\phi(p)=(\theta,z)$ , vem ${\phi}^{-1}(\theta,z)= (\sqrt{1-z^2}\cos\theta,\sqrt{1-z^2}\sin\theta,z)$ . E logo

$$\begin{split}\partial_1=\frac{\partial{\phi}^{-1}}{\partial\t... ...-z^2}}, \frac{-z\sin\theta}{\sqrt{1-z^2}},1\biggr). \end{split}$$ (17)

Contas auxiliares mostram facilmente $\langle\partial_{1},\partial_{1}\rangle=1-z^2,\,\ \langle\partial_{1},\partial_{2}\rangle=0,\,\ \langle\partial_{2},\partial_{2}\rangle=\frac{1}{1-z^2}$ , pelo que $\det G=1$ -- finalmente justificando o elemento de área (3).