Desenvolvimentos

Outra propriedade intrínseca, ie. invariante da escolha da carta, que resulta de se ter definido uma métrica sobre a superfície considerada é a chamada curvatura de Gauss, uma certa função escalar $k:{\cal S}\rightarrow {\mathbb{R}}$ que em cada ponto $p$ nos diz quão distante estão as mais ínfimas vizinhanças de $p$ de se parecerem com um dos três modelos:

$$k=\left\{\begin{array}{l} -1\ \mbox{para o \textit{ponto de sela}... ...ox{para o plano euclidiano} \\ 1\ \mbox{para a esfera}\ S^2. \end{array}\right.$$ (18)

Estamos certos que o leitor reconhecerá aqueles três tipos de curvatura em dimensão 2, nomeadamente consultando [12].

Esta função escalar $k$ dependente da métrica, descoberta pelo matemático C. F. Gauss (1777-1855) e generalizada a dimensão $n$ pelo igualmente genial B. Riemann (1826-1866), tem acrescida uma propriedade muito especial (também esta generalizável a qualquer dimensão onde entram as classes de Pontryagin).

Teorema 5 (Gauss-Bonnet)   Se ${\cal S}$ é compacta e orientável, $\int_{\cal S}k=2\pi\chi$ .

Ou seja, somada a curvatura sobre o espaço todo obtemos essencialmente a característica de Euler -- regressamos a um invariante estritamente topológico! Surpresa, de uma matéria que parecia estar reservada cada vez mais e mais aos deuses da matemática.