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Interpretação

$$\Huge c^v \quad x^v \quad f^v \quad =^v \quad r^v $$

As interpretações são para a LPO o análogo das valorações da LP: definem o valor $\ndT/\ndF$ das fórmulas. Porém, enquanto que na LP “bastava” valorar proposições, na LPO é preciso interpretar fórmulas e termos.

A interpretação dos termos não pode ficar limitada a simples valores booleanos: os termos aritméticos $0, 2, 37, 42, \ldots$ representam muito mais do que dois valores.

A solução para este problema consiste em interpretar os termos como representações de elementos de um certo universo.

Com este passo resolvido, também as relações formais passam a ser interpretadas em relação a esse universo. Por exemplo a fórmula $2 + 2 > 2 + 1$ pode ser interpretada no universo dos números naturais e, nesse universo, tem um certo valor booleano.

Interpretação de Símbolos

Definição (Interpretação - parte 1)

Sejam $\cat{C}, \cat{V}, \cat{F}, \cat{R}$ como nas definições de termo e de fórmula.

Seja $\cat{U}$ um conjunto não vazio, o universo. Uma interpretação $v$ (de $\cat{C}, \cat{V}, \cat{F}, \cat{R}$) em $\cat{U}$ define:

  • Constantes. Para cada $c\in\cat{C}$, um elemento $$ c^v\in\cat{U}. $$
  • Variáveis. Para cada $x\in\cat{V}$, um elemento $$ x^v\in\cat{U}. $$
  • Funções. Para cada $f_n \in \cat{F}$, uma função $$ \fnsig{f^v}{\cat{U}^n}{\cat{U}}. $$
  • Igualdade. A relação de igualdade em $\cat{U}$, $=^v$, é o conjunto $$ \cbr{\del{a,a}:~a\in \cat{U}}. $$
  • Relações. Para cada $r_n \in \cat{R}$, um subconjunto $$ r^v \subseteq \cat{U}^n. $$

Relações e Conjuntos

O que significa dizer “$=^v$ é o conjunto $\cbr{\del{a,a}:~a\in \cat{U}}$” e o que é que isto tem a ver com a igualdade?

Voltando ao exemplo da aritmética.

Primeiro. A relação “$<$” nos números naturais $\mathbb{N} = \set{0, 1, 2, \ldots}$. O que significa “$2 < 4$”?

Significa que $2$ e $4$ têm, em conjunto, uma “caraterística” em comum com outros pares de números, como $1$ e $7$ ou $2$ e $8$ mas que outros pares de números, como $4$ e $2$ ou $6$ e $3$, não têm essa “caraterística”.

Ou seja $<$ inclui certos pares de números, como $(2,4), (1, 7), (2,8)$, e exclui outros pares, como $(4, 2), (6,3)$.

Outra forma de dizer isto: A relação $<$ é o conjunto: $$ M = \cbr{ \del{0, 1}, \del{0, 2}, \del{0, 3}, \ldots, \del{1, 2}, \del{1, 3}, \del{1, 4}, \ldots, \del{2, 3}, \alert{\del{2, 4}}, \del{2, 5}, \ldots} $$

Em geral, para saber se $x < y$ basta ver se $(x,y) \in M$. Isto é:

Uma relação binária é o mesmo que um conjunto de pares ordenados.

Segundo. Que conjunto de pares ordenados define a relação de igualdade?

Isto é, qual é o conjunto $D$ tal que: $$ D = \set{(x,y) : x, y \in \mathbb{N}, x = y}? $$ e a resposta é $$ D = \set{(x,x) : x \in \mathbb{N}} = \set{(0,0), (1,1), (2,2), \ldots} $$

Em geral, para um conjunto $X$ qualquer,

A relação de igualdade no conjunto $X$ é o conjunto $\set{(x,x) : x \in X}$ de pares ordenados.

Terceiro. Como caso particular, para um domínio $\cat{U}$ a relação de igualdade é definida por $$ \set{(x,x) : x \in \cal{U}}. $$

Explicitação ($v\fix{x}{a}$)

Vai ser frequentemente necessário indicar explicitamente (ou fixar) a interpretação de uma certa variável-

Definição (Explicitação, $v\fix{x}{a}$)

A explicitação da variável $x\in\cat{V}$ em $a \in \cat{U}$ para a interpretação $v$, representa-se por $v\fix{x}{a}$ e denota a seguinte interpretação $u$, obtida a partir de $v$: $$ u(y) = \begin{cases} a & \text{se}~y = x, \cr v(y) &\text{caso contrário}. \end{cases} $$ isto é $$ v\fix{x}{a}(y) = \begin{cases} a & \text{se}~y = x, \cr v(y) &\text{caso contrário}. \end{cases} $$

Interpretação de Termos

Definição (Interpretação - parte 2)

Dado uma interpretação $v$ de $\cat{C}, \cat{V}, \cat{F}, \cat{R}$ no universo $\cat{U}$, a interpretação do termo $t$, escrita $t^v$, é:

  • Constante ou Variável. Se $t \in \cat{C}\cup\cat{V}$ então $t^v$ já está definida na parte 1.

  • Função. Se $t = f\at{t_1, \ldots, t_n}$ em que $f_n\in\cat{F}$ e $t_1,\ldots, t_n$ são termos então $$ t^v = f^v\at{t^v_1, \ldots, t^v_n}. $$

Isto é, para interpretar um termo como “$\lit{sum}(\lit{twenty}, \lit{twenty two})$” nos números naturais é preciso:

  1. Interpretar os sub-termos “$\lit{twenty}$” e “$\lit{twenty two}$”. Obtém-se, por exemplo, $20$ e $22$.
  2. Interpretar o símbolo functional “$\lit{sum}$”. Obtém-se, por exemplo, a função $\lit{somar}:\mathbb{N}^2 \to \mathbb{N}$.

Portanto a fórmula $\lit{sum}(\lit{twenty}, \lit{twenty two})$ é interpretada como a expressão aritmética (em escrita formal) $\lit{somar}(20, 22)$ que, usando as regras comuns, resulta em $42$.

Exemplos

Domínio “Senhor dos Anéis”

  • O universo é $\cat{U}_{\text{SdA}} = \cbr{x: x~\text{é uma personagem no S.d.A.}}$.

  • As constantes $\lit{Aragorn}, \lit{Sauron}, \ldots \in \cat{U}_{\text{SdA}}$.

  • A relação $\lit{Elfo}_1 \subset \cat{U}_{\text{SdA}}$ é o conjunto dos Elfos. Por exemplo, $\fat{Elfo}{\lit{Galadriel}}$ significa que $\lit{Galadriel}$ é uma Elfo.

  • A relação $\lit{Camarada}_2 \subset \cat{U}^2_{\text{SdA}}$ indica quando duas personagens estiveram do mesmo lado numa batalha. Por exemplo, $\fat{Camarada}{\lit{Gimli}, \lit{Legolas}}$.

Neste universo não se pode definir a função $\lit{Origem}_1$ para a proveniência duma personagem. Por exemplo, seria desejável escrever $\fat{Origem}{\lit{Frodo}}=\lit{Shire}$. Esta limitação pode ser ultrapassada estendendo o universo com objetos adequados.

Por exemplo, $$ \cat{U}^{++}_{\text{SdA}} = \cbr{x: x~\text{é uma personagem ou um local no S.d.A.}}. $$

Domínio “Labirinto do Minotauro”

  • O universo é $\cat{U}_{\text{LdM}} = \cbr{p: p~\text{é uma sala do labirinto}}$.

  • As constantes $\lit{11}, \lit{12}, \ldots \in \cat{U}_{\text{LdM}}$.

  • A relação $\lit{Minotauro}_1 \subset \cat{U}_{\text{LdM}}$ é o conjunto das salas onde está o(um) Minotauro. Por exemplo, $\fat{Minotauro}{\lit{21}}$ significa que o(um) Minotauro está na sala $\lit{21}$.

  • A relação $\lit{Adjacente}_2 \subset \cat{U}^2_{\text{LdM}}$ indica quando duas salas são adjacentes. Por exemplo, $\fat{Adjacente}{\lit{33}, \lit{43}}$.

Neste universo não se pode definir a função $\lit{Coluna}_1$ para se obter a coluna duma sala. Por exemplo, seria desejável escrever $\fat{Coluna}{\lit{12}}=\lit{2}$. Esta limitação pode ser ultrapassada se estendermos o universo com objetos adequados.

Por exemplo, $$ \cat{U}_{\text{LdM}}^{++} = \cbr{x: x~\text{é uma sala ou um número}}. $$

Interpretações do “SdA” e do “LdM”

Sejam $\cat{C} = \cbr{c_1, c_2, c_3, c_4, c_5, c_6, d_1}, \cat{F} = \cbr{f}, \cat{R}=\cbr{r, s}$ e duas interpretações: $v_{\text{SdA}}$ e $v_{\text{LdM}}$ para, respetivamente, os domínios “Senhor dos Anéis” e “Labirinto do Minotauro”.

$$\large \begin{array}{l||r|r} \text{Símbolo} & v_{\text{SdA}} & v_{\text{LdM}} \cr \hline c_1 & \lit{Aragorn} & 11 \cr c_2 & \lit{Sauron} & 12 \cr c_3 & \lit{Galadriel} & 21 \cr c_4 & \lit{Gimli} & 33 \cr c_5 & \lit{Legolas} & 43 \cr c_6 & \lit{Frodo} & 12 \cr d_1 & \lit{Shire} & 2 \cr \hline f & \lit{Origem} & \lit{Coluna} \cr \hline r & \lit{Elfo} & \lit{Minotauro} \cr s & \lit{Camarada} & \lit{Adjacente} \cr \end{array} $$

  • A mesma constante, $c_1$ tem interpretações diferentes, conforme o universo:
    • $c_1^{v_{\text{SdA}}}=\lit{Aragorn}$
    • $c_1^{v_{\text{LdM}}}=11$.
  • O que significa $r\at{c_2}$?
    • No SdA: “Sauron é um Elfo” (não é!).
    • No LdM, “(Um? O?) Minotauro está na sala 12” (pode estar… depende do estado do labirinto).

A Lógica de Primeira Ordem permite descrever domínios muito diferentes, não só de fantasia.

  • Não basta descrever, é necessário aplicar o sistema formal para estudar o domínio que, muitas vezes é intangível por ser fantasia, distante como Marte, prejudicial como uma zona radioactiva, caro, perigoso, abstrato, etc.
  • Além das conclusões, via Dedução Natural, também importa a consequência semântica: usar interpretações para atribuir valores booleanos a fórmulas.