Interpretação

$$c^v{x}^v{f}^v{=}^v{r}^v$$

As interpretações são para a LPO o análogo das valorações da LP: definem o valor $\mathtt{v}/\mathtt{f}$ das fórmulas. Porém, enquanto que na LP "bastava" valorar proposições, na LPO é preciso interpretar fórmulas e termos.

A interpretação dos termos não pode ficar limitada a simples valores booleanos: os termos aritméticos $0,2,37,42,\dots$ representam muito mais do que dois valores.

A solução para este problema consiste em interpretar os termos como representações de elementos de um certo universo.

Com este passo resolvido, também as relações formais passam a ser interpretadas em relação a esse universo. Por exemplo a fórmula $2+2>2+1$ pode ser interpretada no universo dos números naturais e, nesse universo, tem um certo valor booleano.

Interpretação de Símbolos

Definição (Interpretação - parte 1)

Sejam $\mathcal{C},\mathcal{V},\mathcal{F},\mathcal{R}$ como nas definições de termo e de fórmula.

Seja $\mathcal{U}$ um conjunto não vazio, o universo. Uma interpretação $v$ (de $\mathcal{C},\mathcal{V},\mathcal{F},\mathcal{R}$) em $\mathcal{U}$ define:

• Constantes. Para cada $c\in \mathcal{C}$, um elemento $$c^v\in \mathcal{U}.$$
• Variáveis. Para cada $x\in \mathcal{V}$, um elemento $$x^v\in \mathcal{U}.$$
• Funções. Para cada $f_n\in \mathcal{F}$, uma função $$f^v:{\mathcal{U}}^n⟶\mathcal{U}.$$
• Igualdade. A relação de igualdade em $\mathcal{U}$, ${=}^v$, é o conjunto $$\left\{\left(a,a\right):a\in \mathcal{U}\right\}.$$
• Relações. Para cada $r_n\in \mathcal{R}$, um subconjunto $$r^v\subseteq {\mathcal{U}}^n.$$

Relações e Conjuntos

O que significa dizer "${=}^v$ é o conjunto $\left\{\left(a,a\right):a\in \mathcal{U}\right\}$" e o que é que isto tem a ver com a igualdade?

Voltando à com a aritmética.

Primeiro. A relação "$<$" nos números naturais $\mathbb{N}=\{0,1,2,\dots \}$. O que significa "$2<4$"?

Significa que $2$ e $4$ têm, em conjunto, uma "caraterística" em comum com outros pares de números, como $1$ e $7$ ou $2$ e $8$ mas que outros pares de números, como $4$ e $2$ ou $6$ e $3$, não têm essa "caraterística".

Ou seja $<$ inclui certos pares de números, como $(2,4),(1,7),(2,8)$, e exclui outros pares, como $(4,2),(6,3)$.

Outra forma de dizer isto: A relação $<$ é o conjunto: $$M=\left\{\left(0,1\right),\left(0,2\right),\left(0,3\right),\dots ,\left(1,2\right),\left(1,3\right),\left(1,4\right),\dots ,\left(2,3\right),\left(2,4\right),\left(2,5\right),\dots \right\}$$

Em geral, para saber se $x<y$ basta ver se $(x,y)\in M$. Isto é:

Uma relação binária é o mesmo que um conjunto de pares ordenados.

Segundo. Que conjunto de pares ordenados define a relação de igualdade?

Isto é, qual é o conjunto $D$ tal que: $$D=\{(x,y):x,y\in \mathbb{N},x=y\}?$$ e a resposta é $$D=\{(x,x):x\in \mathbb{N}\}=\{(0,0),(1,1),(2,2),\dots \}$$

Em geral, para um conjunto $X$ qualquer,

A relação de igualdade no conjunto $X$ é o conjunto $\{(x,x):x\in X\}$ de pares ordenados.

Terceiro. Como caso particular, para um domínio $\mathcal{U}$ a relação de igualdade é definida por $$\{(x,x):x\in \mathcal{U}\}.$$

Explicitação ($v\left[x\mapsto a\right]$)

Vai ser frequentemente necessário indicar explicitamente (ou fixar) a interpretação de uma certa variável-

Definição (Explicitação, $v\left[x\mapsto a\right]$) a explicitação da variável $x\in \mathcal{V}$ em $a\in \mathcal{U}$ para a interpretação $v$, representa-se por $v\left[x\mapsto a\right]$ e denota a seguinte interpretação $u$, obtida a partir de $v$: $$u(y)=\{\begin{array}{ll}a& \text{se}y=x,\\ v(y)& \text{caso contraˊrio}.\end{array}$$ isto é $$v\left[x\mapsto a\right](y)=\{\begin{array}{ll}a& \text{se}y=x,\\ v(y)& \text{caso contraˊrio}.\end{array}$$

Interpretação de Termos

Definição (Interpretação - parte 2)

Dado uma interpretação $v$ de $\mathcal{C},\mathcal{V},\mathcal{F},\mathcal{R}$ no universo $\mathcal{U}$, a interpretação do termo $t$, escrita $t^v$, é:

• Constante ou Variável. Se $t\in \mathcal{C}\cup \mathcal{V}$ então $t^v$ já está definida na parte 1.

• Função. Se $t=f\left(t_1,\dots ,t_n\right)$ em que $f_n\in \mathcal{F}$ e $t_1,\dots ,t_n$ são termos então $$t^v=f^v\left(t_1^v,\dots ,t_n^v\right).$$

Isto é, para interpretar um termo como "$\text{sum}(\text{twenty},\text{twenty two})$" nos números naturais é preciso:

1. Interpretar os sub-termos "$\text{twenty}$" e "$\text{twenty two}$". Obtém-se, por exemplo, $20$ e $22$.
2. Interpretar o símbolo functional "$\text{sum}$". Obtém-se, por exemplo, a função $\text{somar}:{\mathbb{N}}^2\to \mathbb{N}$.

Portanto a fórmula $\text{sum}(\text{twenty},\text{twenty two})$ é interpretada como a expressão aritmética (em escrita formal) $\text{somar}(20,22)$ que, usando as regras comuns, resulta em $42$.

Exemplos

Domínio "Senhor dos Anéis"

• O universo é ${\mathcal{U}}_{\text{SdA}}=\left\{x:x\text{eˊ uma personagem no S.d.A.}\right\}$.

• As constantes $\text{Aragorn},\text{Sauron},\dots \in {\mathcal{U}}_{\text{SdA}}$.

• A relação ${\text{Elfo}}_1\subset {\mathcal{U}}_{\text{SdA}}$ é o conjunto dos Elfos. Por exemplo, $\text{Elfo}\left(\text{Galadriel}\right)$ significa que $\text{Galadriel}$ é uma Elfo.

• A relação ${\text{Camarada}}_2\subset {\mathcal{U}}_{\text{SdA}}^2$ indica quando duas personagens estiveram do mesmo lado numa batalha. Por exemplo, $\text{Camarada}\left(\text{Gimli},\text{Legolas}\right)$.

Neste universo não se pode definir a função ${\text{Origem}}_1$ para a proveniência duma personagem. Por exemplo, seria desejável escrever $\text{Origem}\left(\text{Frodo}\right)=\text{Shire}$. Esta limitação pode ser ultrapassada estendendo o universo com objetos adequados.

Por exemplo, $${\mathcal{U}}_{\text{SdA}}^{++}=\left\{x:x\text{eˊ uma personagem ou um local no S.d.A.}\right\}.$$

Domínio "Labirinto do Minotauro"

• O universo é ${\mathcal{U}}_{\text{LdM}}=\left\{p:p\text{eˊ uma sala do labirinto}\right\}$.

• As constantes $\text{11},\text{12},\dots \in {\mathcal{U}}_{\text{LdM}}$.

• A relação ${\text{Minotauro}}_1\subset {\mathcal{U}}_{\text{LdM}}$ é o conjunto das salas onde está o(um) Minotauro. Por exemplo, $\text{Minotauro}\left(\text{21}\right)$ significa que o(um) Minotauro está na sala $\text{21}$.

• A relação ${\text{Adjacente}}_2\subset {\mathcal{U}}_{\text{LdM}}^2$ indica quando duas salas são adjacentes. Por exemplo, $\text{Adjacente}\left(\text{33},\text{43}\right)$.

Neste universo não se pode definir a função ${\text{Coluna}}_1$ para se obter a coluna duma sala. Por exemplo, seria desejável escrever $\text{Coluna}\left(\text{12}\right)=\text{2}$. Esta limitação pode ser ultrapassada se estendermos o universo com objetos adequados.

Por exemplo, $${\mathcal{U}}_{\text{LdM}}^{++}=\left\{x:x\text{eˊ uma sala ou um nuˊmero}\right\}.$$

Interpretações do "SdA" e do "LdM"

Sejam $\mathcal{C}=\left\{c_1,c_2,c_3,c_4,c_5,c_6,d_1\right\},\mathcal{F}=\left\{f\right\},\mathcal{R}=\left\{r,s\right\}$ e duas interpretações: $v_{\text{SdA}}$ e $v_{\text{LdM}}$ para, respetivamente, os domínios "Senhor dos Anéis" e "Labirinto do Minotauro".

$$\begin{array}{lrr}\text{Sıˊmbolo}& v_{\text{SdA}}& v_{\text{LdM}}\\ c_1& \text{Aragorn}& 11\\ c_2& \text{Sauron}& 12\\ c_3& \text{Galadriel}& 21\\ c_4& \text{Gimli}& 33\\ c_5& \text{Legolas}& 43\\ c_6& \text{Frodo}& 12\\ d_1& \text{Shire}& 2\\ f& \text{Origem}& \text{Coluna}\\ r& \text{Elfo}& \text{Minotauro}\\ s& \text{Camarada}& \text{Adjacente}\end{array}$$

• A mesma constante, $c_1$ tem interpretações diferentes, conforme o universo:
  • $c_1^{v_{\text{SdA}}}=\text{Aragorn}$
  • $c_1^{v_{\text{LdM}}}=11$.
• O que significa $r\left(c_2\right)$?
  • No SdA: "Sauron é um Elfo" (não é!).
  • No LdM, "(Um? O?) Minotauro está na sala 12" (pode estar... depende do estado do labirinto).

A Lógica de Primeira Ordem permite descrever domínios muito diferentes, não só de fantasia.

• Não basta descrever, é necessário aplicar o sistema formal para estudar o domínio que, muitas vezes é intangível por ser fantasia, distante como Marte, prejudicial como uma zona radioactiva, caro, perigoso, abstrato, etc.
• Além das conclusões, via Dedução Natural, também importa a consequência semântica: usar interpretações para atribuir valores booleanos a fórmulas.