Consequência Semântica de Primeira Ordem

$$\Huge v \models p \qquad v \models H \qquad H \models p\qquad \models p $$

• Intuitivamente a interpretação (por $v$) de uma fórmula como $\forall x~r\at{x}$ corresponde a afirmar que $a \in r^v$ para cada elemento $a$ do universo $\cat{U}$.
• Há um problema técnico em exprimir rigorosamente o que acontece às variáveis. Não se pode escrever $r\subst{x}{a}$ porque, $a$ não é um símbolo lógico (mas um elemento do universo da interpretação) portanto não pode ocorrer numa fórmula.
• É necessário um tratamento especial para as variáveis, usando a explicitação das interpretações.

Consequência Semântica

Definição (Modelo, $\models$)

Dada uma interpretação $v$ de $\cat{C}, \cat{V}, \cat{F}, \cat{R}$ no universo $\cat{U}$, diz-se que a fórmula $p$ é verdade em $v$, que $v$ satisfaz $p$ ou que $v$ é modelo de $p$, e escreve-se $v \models p$, de acordo com o tipo de $p$:

• Igualdade. $v \models a = b$ se $a^v = b^v$.
• Relação. $v \models r\at{t_1,\ldots, t_n}$ se $\del{t_1^v, \ldots, t_n^v} \in r^v$.
• Universal. $v \models \forall x~q$ se para cada $a\in \cat{U}$, $v\fix{x}{a} \models q$.
• Existencial. $v \models \exists x~q$ se existe $a\in\cat{U}$ tal que $v\fix{x}{a} \models q$.

Seja $H$ um conjunto de fórmulas. Então diz-se que $v$ é modelo de $H$ e escreve-se $v \models H$ se $v \models h$ para cada $h \in H$. Nesse caso também se diz que $H$ é consistente.

Definição (Tipos de Fórmulas)

Seja $H$ um conjunto (possivelmente infinito) de fórmulas e $p$ uma fórmula. Diz-se que:

• Consequência. A fórmula $p$ é consequência de $H$ e escreve-se $H \models p$, se cada modelo de $H$ também é modelo de $p$, isto é, se $v \models H$ então $v\models p$.
• Compatível, Satisfazível. A fórmula $p$ é compatível ou satisfazível se tem um modelo (existe $v$ tal que $v \models p$).
• Válida, Tautologia. A fórmula $p$ é válida ou uma tautologia se qualquer interpretação é modelo ($v \models p$ para qualquer $v$). Nesse caso escreve-se $\models p$.

Nota. Abuso da notação

O símbolo $\models$ é usado com vários significados distintos:

• $v \models p$: Uma interpretação e uma proposição.
• $v \models H$: Uma interpretação e um conjunto de proposições.
• $H \models p$: Um conjunto de proposições e uma proposição.
• $\models p$: Uma proposição.