Consequência Semântica de Primeira Ordem

$$v\models pv\models HH\models p\models p$$

• Intuitivamente a interpretação (por $v$) de uma fórmula como $\forall xr\left(x\right)$ corresponde a afirmar que $a\in r^v$ para cada elemento $a$ do universo $\mathcal{U}$.
• Há um problema técnico em exprimir rigorosamente o que acontece às variáveis. Não se pode escrever $r\left\{x/a\right\}$ porque, $a$ não é um símbolo lógico (mas um elemento do universo da interpretação) portanto não pode ocorrer numa fórmula.
• É necessário um tratamento especial para as variáveis, usando a explicitação das interpretações.

Consequência Semântica

Definição (Modelo, $\models$)

Dada uma interpretação $v$ de $\mathcal{C},\mathcal{V},\mathcal{F},\mathcal{R}$ no universo $\mathcal{U}$, diz-se que a fórmula $p$ é verdade em $v$, que $v$ satisfaz $p$ ou que $v$ é modelo de $p$, e escreve-se $v\models p$, de acordo com o tipo de $p$:

• Igualdade. $v\models a=b$ se $a^v=b^v$.
• Relação. $v\models r\left(t_1,\dots ,t_n\right)$ se $\left(t_1^v,\dots ,t_n^v\right)\in r^v$.
• Universal. $v\models \forall xq$ se para cada $a\in \mathcal{U}$, $v\left[x\mapsto a\right]\models q$.
• Existencial. $v\models \exists xq$ se existe $a\in \mathcal{U}$ tal que $v\left[x\mapsto a\right]\models q$.

Seja $H$ um conjunto de fórmulas. Então diz-se que $v$ é modelo de $H$ e escreve-se $v\models H$ se $v\models h$ para cada $h\in H$. Nesse caso também se diz que $H$ é consistente.

Definição (Tipos de Fórmulas)

Seja $H$ um conjunto (possivelmente infinito) de fórmulas e $p$ uma fórmula. Diz-se que:

• Consequência. A fórmula $p$ é consequência de $H$ e escreve-se $H\models p$, se cada modelo de $H$ também é modelo de $p$, isto é, se $v\models H$ então $v\models p$.
• Compatível, Satisfazível. A fórmula $p$ é compatível ou satisfazível se tem um modelo (existe $v$ tal que $v\models p$).
• Válida, Tautologia. A fórmula $p$ é válida ou uma tautologia se qualquer interpretação é modelo ($v\models p$ para qualquer $v$). Nesse caso escreve-se $\models p$.

Nota. Abuso da notação

O símbolo $\models$ é usado com vários significados distintos:

• $v\models p$: Uma interpretação e uma proposição.
• $v\models H$: Uma interpretação e um conjunto de proposições.
• $H\models p$: Um conjunto de proposições e uma proposição.
• $\models p$: Uma proposição.