Área da superfície esférica

Arquimedes estudou também a área da superfícia esférica, a fronteira da esfera sólida. Alguns livros de geometria diferencial atribuem-lhe o seguinte resultado (cf. [5,12]).

Teorema 3 (Arquimedes)   A projecção cilíndrica $\phi(p)=(\theta,z)$ de $S^2$ sobre a superfície cilindríca é equiareal, ie. preserva as áreas.

Recordemos que a projecção cilíndrica corresponde à projecção tomada na horizontal dos pontos de um paralelo na esfera sobre a respectiva circunferência no cilindro. Para vermos tal projecção em cartas ou mapas da esfera, utilizamos coordenadas, e então, para termos um aberto de ${\mathbb{R}}^2$ , temos de retirar um semi-meridiano da esfera incluindo os pólos (como um corte).

Denotam-se as esferas de dimensão $n$ e raio $r$ por $S^n_r$ . Temos então um ponto $p\in S^2_r$ descrito por $(\theta,z)$ , um ângulo $\theta$ relativo ao desvio do semi-meridiano retirado e uma altura $z$ correspondente ao paralelo. Calcula-se então o elemento de área:

$$\omega=r\,{\mathrm d}\theta\wedge{\mathrm d}z,$$ (3)

onde $r$ é o raio da esfera. De imediato obtemos um corolário pouco conhecido.

Corolário 1   Todos os anéis de $S^2_r$ com a mesma altura $h$ têm exactamente a mesma área.

Com efeito, tal área será dada pelo integral

$$\int\omega=r\int_0^{2\pi}\int_{a}^{a+h}{\mathrm d}z{\mathrm d}\theta=2\pi hr.$$ (4)

Figura 5: Dois resultados com origem no teorema de Arquimedes.

Em particular, área $S^2_r=4\pi r^2$ . E usando argumentos como os que vimos no início (fig. 2) pode-se descobrir de novo o volume da esfera. Sob a perspectiva do ângulo, temos que uma área lunar (a superfície entre dois semi-meridianos fazendo um ângulo $\alpha$ ) é $2r^2\alpha$ . Vejam-se os dois resultados na figura 5. O último permite-nos provar:

Proposição 1 (cf. [12])   A área de um triângulo esférico (cf. figura 6) sobre a superfície esférica de raio 1 é $\alpha +\beta +\gamma -\pi$ .

Seja $X$ a área que se procura. Repare-se que o triângulo dado tem um dual, antípoda, e cada um dos três ângulos admite duas correspondentes áreas iguais. Notêmo-las respectivamente por $A,B,C$ . Pelo resultado acima, temos

$$X+A=2\alpha,\qquad X+B=2\beta,\qquad X+C=2\gamma.$$

Por outro lado, $2X+2A+2B+2C=4\pi$ , pelo que agora o valor de $X$ se torna fácil de encontrar.

Figura: Área do triângulo esférico é $\alpha +\beta +\gamma -\pi$ .

Note-se que o triângulo considerado é geodésico, ie. as suas arestas são `rectas' da esfera, ou seja caminhos mais curtos entre quaisquer dois dos seus pontos. Sabe-se que estes caminhos são dados por arcos de circunferência máximos, ie. com raio igual ao da esfera.

A projecção cilíndrica conserva as áreas - não as distâncias! Não é uma isometria. Para tal, basta ver a projecção de um paralelo, que aumenta. Ou a de um meridiano, que diminui. Mas a geodesia é uma matéria que merece um estudo próprio...

Os trabalhos de Arquimedes são verdadeiramente assombrosos pela exiguidade de instrumentos matemáticos de que ele dispunha! O seu Método ainda hoje é estudado¹, pois não só a Física que envolve é útil e verdadeira como a relação com a matemática está no âmago dos problemas actuais. Por isso ele é considerado um dos três maiores matemáticos de sempre².

Não esqueçamos todo o trabalho teórico construído por Arquimedes ao longo de 75 anos. Ele encontra-se nas suas obras referenciadas por historiadores e cronistas gregos, romanos ou árabes, que o inglês Thomas L. Heath, reconhecido historiador e tradutor de Arquimedes, ordenou cronologicamente como segue: Do Equilíbrio de Planos I, A Quadratura da Parábola, Do Equilíbrio de Planos II, Da esfera e do Cilindro I, II, Das Espirais, Dos Conóides e Esferóides, Dos Corpos Flutuantes I, II, Da Medida do Círculo e O Arenário. Faltando-nos ainda descobrir onde se integram o Método dos Teoremas Mecânicos e Stomachion (obra seguramente tardia) e O livro dos Lemas (cf. [1,6,8,9])³.