Conjunção

$$\Huge \ndEConjL \qquad \ndEConjR \qquad \ndIConj $$

Eliminação da Conjunção

Eliminação da conjunção (esquerda) ($\ndEConjL$)

$$\Large \ndEConjL: p \land q \vdash p $$ ou $$\Large \ndrule{p \land q}{p}{\ndEConjL} $$

Esta regra chama-se “eliminação da conjunção à esquerda”, representa-se por $\ndEConjL$ e diz que se $p \land q$ é uma das hipóteses, pode concluir-se $p$.

• É uma regra de eliminação da conjunção porque a conjunção ocorre nas hipóteses.
• “Esquerda” significa que na conclusão ocorre a proposição esquerda, o $p$.

Esta, e qualquer outra regra, é apresentada de duas formas equivalentes:

• horizontal “$p \land q \vdash p$” usa o símbolo $\vdash$ de consequência (formal); à esquerda estão as hipóteses e à direita a conclusão.
• vertical “$\frac{p \land q}{p}$” parece uma fração; em cima estão as hipóteses e por baixo a conclusão.

Eliminação da conjunção (direita) ($\ndEConjR$)

$$\Large \ndEConjR: p \land q \vdash q $$ ou $$\Large \ndrule{p \land q}{q}{\ndEConjR} $$

Esta regra é semelhante à anterior, com a diferença que a consequência é o lado direito da hipótese.

Provas em Tabela

Como aplicar as regras para fazer uma prova?

Uma prova em tabela tem o seguinte aspeto

e o resultado é

$$ \lit{faz sol} \land \lit{vou à praia} \vdash \lit{faz sol} $$

isto é, $\lit{faz sol}$ é consequência da hipótese $\lit{faz sol} \land \lit{vou à praia}$.

Outra forma de dizer o mesmo:

Existe uma prova de $\lit{faz sol}$ a partir da hipótese $\lit{faz sol} \land \lit{vou à praia}$.

A construção de uma prova é organizada numa tabela:

1. As linhas são escritas de cima para baixo.
2. Cada linha tem um número, na coluna “Linha”, definido sequencialmente: 1, 2, 3, etc.
3. Na coluna “Proposição” está uma proposição que pode ser um de dois casos:
   1. É uma hipótese e assinala-se um $H$ na coluna “Regra” ou
   2. Resulta das linhas anteriores por aplicação de uma regra. Nesse caso:
      1. Na coluna “Regra” escreve-se o nome da regra. Por exemplo, $\ndEConjL$.
      2. Na coluna “Hipóteses” escrevem-se os números da linhas onde estão as hipóteses da regra aplicada. Por exemplo, 1.
4. Na última linha está a conclusão da prova, que depende da hipóteses colocadas na prova.

Introdução da Conjunção

Introdução da Conjunção ($\ndIConj$)

$$\Large \ndIConj: \cbr{p, q} \vdash p \land q $$ ou $$\Large \ndrule{p \quad q}{p \land q}{\ndIConj} $$

Esta regra chama-se “introdução da conjunção”, representa-se por $\ndIConj$ e diz que se as hipóteses forem $p$ e $q$ então pode concluir-se $p \land q$.

• É uma regra de introdução da conjunção porque a conjunção ocorre na conclusão.
• Neste caso a conclusão depende de duas hipóteses.

Exemplos

1. As hipóteses estão indicadas nas linhas 1 e 2.
2. Na linha 3 é aplicada a regra $\ndIConj$ com hipoteses na linhas 1 e 2.

Desta tabela pode escrever-se

$$ \cbr{\lit{faz sol}, \lit{vou à praia}} \vdash \lit{faz sol} \land \lit{vou à praia} $$

Isto é $$\lit{faz sol} \land \lit{vou à praia}$$ é consequência das hipóteses $\cbr{\lit{faz sol}, \lit{vou à praia}}$.

Exemplo. Idempotência da conjunção, $p \dashv\vdash p \land p$ .

Primeiro

mostra que $p \vdash p \land p$.

Depois

mostra que $p \land p \vdash p$.

Combinando as duas conclusões,

$$\large p \dashv\vdash p \land p $$

Exemplo. Comutatividade da conjunção, $p \land q \vdash q \land p$.

Exemplo. Eliminação e introdução da conjunção.