Conjunção

$\land_{1}^{-} \land_{2}^{-} \land^{+}$

Eliminação da Conjunção

Eliminação da conjunção (esquerda) ( $\land_{1}^{-}$ )

$\land_{1}^{-} : p \land q ⊢ p$ ou $\frac{p \land q}{p} (\land_{1}^{-})$

Esta regra chama-se "eliminação da conjunção à esquerda", representa-se por $\land_{1}^{-}$ e diz que se $p \land q$ é uma das hipóteses, pode concluir-se $p$ .

É uma regra de eliminação da conjunção porque a conjunção ocorre nas hipóteses.
"Esquerda" significa que na conclusão ocorre a proposição esquerda, o $p$ .

Esta, e qualquer outra regra, é apresentada de duas formas equivalentes:

horizontal " $p \land q ⊢ p$ " usa o símbolo $⊢$ de consequência (formal); à esquerda estão as hipóteses e à direita a conclusão.
vertical " $\frac{p \land q}{p}$ " parece uma fração; em cima estão as hipóteses e por baixo a conclusão.

Eliminação da conjunção (direita) ( $\land_{2}^{-}$ )

$\land_{2}^{-} : p \land q ⊢ q$ ou $\frac{p \land q}{q} (\land_{2}^{-})$

Esta regra é semelhante à anterior, com a diferença que a consequência é o lado direito da hipótese.

Provas em Tabela

Como aplicar as regras para fazer uma prova?

Uma prova em tabela tem o seguinte aspeto

Linha	Proposição	Regra	Hipóteses
1	$faz sol \land vou \overset{a}{ˋ} praia$	$H$
2	$faz sol$	$\land_{1}^{-}$	1

e o resultado é

$faz sol \land vou \overset{a}{ˋ} praia ⊢ faz sol$

isto é, $faz sol$ é consequência da hipótese $faz sol \land vou \overset{a}{ˋ} praia$ .

Outra forma de dizer o mesmo:

Existe uma prova de $faz sol$ a partir da hipótese $faz sol \land vou \overset{a}{ˋ} praia$ .

A construção de uma prova é organizada numa tabela:

As linhas são escritas de cima para baixo.
Cada linha tem um número, na coluna "Linha", definido sequencialmente: 1, 2, 3, etc.
Na coluna "Proposição" está uma proposição que pode ser um de dois casos:
1. É uma hipótese e assinala-se um $H$ na coluna "Regra" ou
2. Resulta das linhas anteriores por aplicação de uma regra. Nesse caso:
  1. Na coluna "Regra" escreve-se o nome da regra. Por exemplo, $\land_{1}^{-}$ .
  2. Na coluna "Hipóteses" escrevem-se os números da linhas onde estão as hipóteses da regra aplicada. Por exemplo, 1.
Na última linha está a conclusão da prova, que depende da hipóteses colocadas na prova.

Introdução da Conjunção

Introdução da Conjunção ( $\land^{+}$ )

$\land^{+} : {p, q} ⊢ p \land q$ ou $\frac{p q}{p \land q} (\land^{+})$

Esta regra chama-se "introdução da conjunção", representa-se por $\land^{+}$ e diz que se as hipóteses forem $p$ e $q$ então pode concluir-se $p \land q$ .

É uma regra de introdução da conjunção porque a conjunção ocorre na conclusão.
Neste caso a conclusão depende de duas hipóteses.

Exemplos

Linha	Proposição	Regra	Hipóteses
1	$faz sol$	$H$
2	$vou \overset{a}{ˋ} praia$	$H$
3	$faz sol \land vou \overset{a}{ˋ} praia$	$\land^{+}$	1, 2

As hipóteses estão indicadas nas linhas 1 e 2.
Na linha 3 é aplicada a regra $\land^{+}$ com hipoteses na linhas 1 e 2.

Desta tabela pode escrever-se

${faz sol, vou \overset{a}{ˋ} praia} ⊢ faz sol \land vou \overset{a}{ˋ} praia$

Isto é $faz sol \land vou \overset{a}{ˋ} praia$ é consequência das hipóteses ${faz sol, vou \overset{a}{ˋ} praia}$ .

Exemplo. Idempotência da conjunção, $p ⊣⊢ p \land p$ .

Primeiro

Linha	Proposição	Regra	Hipóteses
1	$p$	$H$
2	$p \land p$	$\land^{+}$	1, 1

mostra que $p ⊢ p \land p$ .

Depois

Linha	Proposição	Regra	Hipóteses
1	$p \land p$	$H$
2	$p$	$\land_{1}^{-}$	1

mostra que $p \land p ⊢ p$ .

Combinando as duas conclusões,

$p ⊣⊢ p \land p$

Exemplo. Comutatividade da conjunção, $p \land q ⊢ q \land p$ .

Linha	Proposição	Regra	Hipóteses
1	$p \land q$	$H$
2	$p$	$\land_{1}^{-}$	1
3	$q$	$\land_{2}^{-}$	1
4	$q \land p$	$\land^{+}$	3, 2

Exemplo. Eliminação e introdução da conjunção.

Linha	Proposição	Regra	Hipóteses
1	$faz sol$	$H$
2	$vou \overset{a}{ˋ} praia \land est \overset{a}{ˊ} calor$	$H$
3	$est \overset{a}{ˊ} calor$	$\land_{2}^{-}$	2
4	$est \overset{a}{ˊ} calor \land faz sol$	$\land^{+}$	3, 1

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Eliminação da Conjunção

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