EQUAÇÕES
DIFERENCIAIS ESTOCÁSTICAS E APLICAÇÕES
Universidade
de Évora - semestre par 2009/10 – 7,5 ECTS
Mestrado em Matemática e Aplicações
Programa de Doutoramento em Matemática
AULAS teórico-práticas:
Módulos 1 e 2: AULAS teórico-práticas: Sextas-feiras das 17:00 às 20:00 dos dias 19 Mar, 9, 16, 23 e 30 Abr, 7 e 28 Mai, 11, 18 e 25 Jun, 2 Jul - sala 139 Colégio Luís António Verney (CLV).
Módulo 3: A combinar com os alunos.
ASSISTÊNCIA AOS ALUNOS:
Presencial: Sextas-feiras em que haja aulas
20:00-21:30; sempre que os alunos procurem o docente e este esteja disponível.
Em qualquer caso devem prevenir previamente ou combinar pelo telemóvel
939216682 ou (com antecedência) pelo e-mail braumann@uevora.pt
Assistência também por e-mail.
PÁGINA WEB DA UNIDADE CURRICULAR: http://home.uevora.pt/~braumann/ede/edea.htm
AVALIAÇÃO
Pequeno projecto obrigatório de aplicação usando dados reais ou estudo de simulação ou de estudo teórico de algum tópico (temas a acordar com o docente):
a
entregar até 9 de Julho de 2010 (ou até 21 de Setembro se fizer exame na época
especial). Classificação do Projecto = P.
2 trabalhos para casa (resolução de exercícios) a entregar nas datas que forem indicadas. Classificação T=média das classificações dos 2 trabalhos.
Exame normal: 9 de Julho de 2010, 17:00, sala 129 CLV.
Exame
recurso (casos estritamente previstos no Regulamento)–
23 de Julho de 2010– 17:00 – sala 129 CLV.
Época especial (casos estritamente previstos no Regulamento) – 21 Setembro 2010 – 10:00 – sala ??? CLV
Classif.
do exame = E.
Classificação final = (P+T+E)/3
PROGRAMA PREVISTO
Módulo 1 - Introdução às Equações Diferenciais Estocásticas
e Aplicações: Processo de Wiener e
processos de difusão. Integrais estocásticos. Esboço da construção do
integral de Itô. Uso do teorema de Itô. Referência ao integral de
Stratonovich. Teoremas de existência e unicidade para equações diferenciais
estocásticas (EDEs ). Soluções fortes e fracas. Fórmulas de Dynkin e de
Feynman-Kac. Classificação de fronteiras em processos de difusão
unidimensionais. Tempos de primeira passagem. Soluções estacionárias de EDEs
unidimensionais. Ergodicidade. Simulação de Monte Carlo de EDEs.
Módulo 2 - Aplicações Financeiras de Equações
Diferenciais Estocásticas: Modelo de
Black-Scholes para acções na bolsa: estudo detalhado, incluindo simulação,
estimação e previsão. Modelos de taxas de juro e de câmbios. Enunciado e
interpretação do teorema de Girsanov. Opções europeias e americanas de
compra e obtenção da fórmula de Black-Scholes. Modelo de Cox-Ross-Rubinstein.
Opções europeias de venda. Generalização da metodologia a modelos gerais com
vários activos financeiros.
Módulo 3 - Complementos de Equações Diferenciais Estocásticas: Esperanças
condicionais, propriedades especiais do processo de Wiener. Construção detalhada do integral de Itô. Demonstração do teorema de Itô,
do teorema de existência e unicidade para EDE e do teorema de Girsanov. O
integral de Stratonovich, relações com o integral de Itô e usos em aplicações.
Complementos sobre tempos de primeira passagem e sobre classificação de
fronteiras em processo de difusão unidimensionais. Questões estatísticas nas
EDEs, com ênfase na estimação.
BIBLIOGRAFIA GERAL
Mais utilizada:
Braumann,
C. A. (2005). Introdução às Equações Diferenciais Estocásticas e Aplicações.
Edições SPE.
Øksendal,
B. (2003). Stochastic Differential Equations. An Introduction with
Applications (6ª ed. ). Springer.
Outra:
Arnold, L.
(1974). Stochastic Differential Equations: Theory and Applications. Wiley.
Cox, D.R. e Miller, H.D.
(1965). The Theory of Stochastic Processes. Chapman and Hall.
Freedman,
D. (1983). Brownian Motion and Diffusion. Springer.
Gard, T. C.
(1988). Introduction to Stochastic Differential Equations. Marcel Dekker.
Gikhman,
Karatzas,
Karatzas,
Karlin, S. e
Karlin, S. e
Kloeden, P.
E. e Platen, E. (1992). Numerical Solution of Stochastic Differential
Equations. Springer.
Kloeden, P.
E., Platen, E. e Schurz, H. (1994). Numerical Solution of SDE through
Computer Experiments. Springer.
Musiela, M.
e Rutkowski, M. (1998). Martingale Methods in Financial Modelling.
Springer.
Schuss, Z.
(1980). Theory and Applications of Stochastic Differential Equations.
Wiley.
Soong; T.
T. (1973). Random Differential Equations in Science and Engineering. Academic
Press.
Wong, E. e
Hajek, B. (1985). Stochastic Processes in Engineering Systems. Springer.
Vários
artigos publicados em revistas científicas e actas de reuniões científicas.
Mais bibliografia específica: a indicar a propósito de cada
tema.
ARTIGO sobre ESTIMAÇÃO do Modelo de Black-Scholes (ver secções 1 e 2)
ARTIGO sobre PREVISÃO no Modelo de Black-Scholes (ver modelo 1)
DADOS
http://www.euronext.com/index-2166-EN.html
TRABALHOS PARA CASA (para avaliação; obrigatórios)
Trabalho para casa nº 1. Entrega a 28 de Maio de 2010
Trabalho para casa nº 2. Entrega a 25 de Junho de 2010
SUMÁRIOS
AULA nº 1, 19 Mar 2010 17:00 - 20:00
AULA nº 2, 9 Abr 2010 17:00 - 20:00
3ª AULA 16 Abr 2010 17:00 - 20:00
4ª AULA 23 Abr 2010 17:00 - 20:00
5ª AULA 30 Abr 2010 17:00 - 20:00
6ª AULA 7 Mai 2010 17:00 - 20:00
7ª AULA 28 Mai 2010 17:00 - 20:00
8ª AULA 11 Jun 2010 17:00 - 20:00