O Método

Aquele que ficou conhecido como o Método de Arquimedes vem dos seus estudos da física. Foi finalmente compreendido há cerca de um século, depois de ter sido encontrado num livro de uma bilioteca de Constantinopla (hoje Istambul) pelo estudioso dinamarquês J. L. Heiberg. Este reconheceu o autor que subjazia num palimpsesto (um escrito de missas de monges bizantinos num suporte de papiro ou pele já utilizado, depois de raspado e lavado). O ``palimpsesto de Arquimedes'' contém muitas páginas de resultados para sempre julgados perdidos, uns que não chegaram a ser apagados e outros legíveis por recursos técnicos, incluindo o texto do agora famoso ``Stomachion'', um jogo inventado pelo mestre.

Vejamos uma aplicação do Método.

Recorde-se, para o que segue, que o volume do cone em relação ao cilindro com a mesma base e altura estavam já calculados. Com efeito, aparecem nos Elementos de Euclides, tomando essa razão o valor de $1/3$ . Segundo [3], Arquimedes atribui o resultado ao célebre filósofo atomista Demócrito. Sobre o volume das esferas, o caso é mais complicado.

Teorema 2 (Arquimedes)   O volume da esfera de raio $r$ é 4 vezes o volume do cone com diâmetro da base $2r$ e altura $r$ . ( $\frac{4}{3}\pi r^3$ ).

O volume da esfera é $2/3$ do volume do cilindro com altura e diâmetro da base iguais ao diâmetro da esfera.

A demonstração utiliza a ideia de equilíbro estático de sólidos, teoria que Arquimedes desenvolvera para a física e que não considerava do mesmo rigor que as suas obras matemáticas. Eis porque se diz que o resultado terá ficado de parte. Por outro lado, também há relatos que Arquimedes terá gostado tanto do seu

Figura: O Método aplicado no cálculo de volumes.

(grande) teorema, que pediu que esculpissem o esquema da esquerda da figura 4 no seu túmulo. Vejamos a demonstração do teorema, de acordo com o exposto em [4].

O esquema representa uma secção da esfera e de um cilindro e um cone com o dobro da base dos mencionados. O ponto $A$ servirá de fulcro da balança. Passa-se uma recta (um plano paralelo ao plano da base) genérica por $S$ . Por semelhança de triângulos,

$$\frac{AC}{AO}=\frac{AO}{AS} .$$

Logo $MS\cdot SQ=AC\cdot AS=AO^2=QS^2+OS^2$ e então

$$\frac{HA}{AS}=\frac{MS}{SQ}=\frac{MS^2}{MS\cdot SQ}=\frac{MS^2}{QS^2+OS^2}.$$

Estabelecidas estas relações e raciocinando como com corpos em equilíbrio, vem, no centro de gravidade $G=S$ para o cilindro (onde $\frac{HA}{AS}=2$ ) e em $H$ para a esfera e para o cone,

$$2( \;AEF + \;ABCD)= \;EF$$

pois que se `integram' aquelas áreas circulares. Finalmente, como cilindro$=3\,$ cones$AEF$ por [Euclides, Elementos, XII] [7]; e como cone$AEF=8\-\,$ cone$ABD$ , por duplicação de uma medida unidimensional, resulta daquela equação,

$$\,ABCD= 4\, \,ABD.$$

Para a segunda parte, temos

$$=6\, \,ABD=\frac{3}{2}\, \,ABCD.$$

Note-se que o método de exaustão estava aqui interligado. Bem como que a ideia rigorosa do Método será mais complicada do que a aplicação que dela aqui se faz.

Obras anteriores de Arquimedes dão-nos os enunciados do teorema acima. Mas só no Método é que ele explica como o obteve (aquele e muitos outros), defendendo ainda que o seu método mecânico lhe parecia tão bom como os demais geométricos pelos quais, ao longo da vida, por vezes em segunda ocasião havia provado os seus resultados. Cremos que um destes é o resultado sobre a parábola (teorema 1) pois são conhecidas duas demonstrações.