Álgebra linear e Geometria Analítica

DOCENTES:

CURSOS:

Bioq, CFis, EC, EG, EI, EM, EQ, ERH, FQ, Q

Actualizado quarta-feira, 14 de Dezembro de 2005, 17:38

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PROGRAMA

1. Preparação

1.1.  Números complexos*. 

1.2. Intersecção e união de conjuntos. 

1.3. Aplicações entre conjuntos.

1.4. Operação binária num conjunto.

2.  Sistemas de Equações. Determinantes

2.1. Sistemas de equações lineares*. 

2.2. Resolução e discussão de sistemas de equações lineares: o método de Gauss. 

2.3. Determinante de uma matriz quadrada*. 

2.4. Cálculo de determinantes: a regra de Sarrus; o método de Gauss; o teorema de Laplace. 

2.5. A regra de Cramer.

3. Espaços Vectoriais

3.1. Espaço vectorial sobre um corpo*. 

3.2. Combinações lineares. 

3.3. Geradores de um espaço vectorial. 

3.4. Sistemas de vectores equivalentes. 

3.5. Dependência linear*. 

3.6. Bases*. 

3.7. Dimensão.

4. Subespaços vectoriais

4.1. Subespaços vectoriais. 

4.2. Intersecção e soma de subespaços vectoriais. 

4.3. Subespaços de um espaço de dimensão finita. 

4.4. O teorema das dimensões. 

4.5. Somas directas de subespaços.

5. Aplicações Lineares

5.1. Aplicações lineares. 

5.2. Núcleo e imagem de uma aplicação linear. 

5.3. Monomorfismos, epimorfismos e isomorfismos. 

5.4. Operações com aplicações lineares. 

5.5. Aplicações lineares entre espaços de dimensão finita.

6. Matrizes

6.1. Representação matricial de uma aplicação linear*. 

6.2. Mudanças de bases. 

6.3. Operações com matrizes. 

6.4. Matrizes invertíveis. 

6.5. Característica de uma matriz.

7. Vectores Próprios

7.1. Valores e vectores próprios de um endomorfismos de um espaço vectorial*. 

7.2. Cálculo de valores e vectores próprios. 

7.3. Endomorfismos diagonalizáveis.

8. Produto Interno

8.1. Produto interno num espaço vectorial real ou complexo*. 

8.2. Norma. Ângulo entre dois vectores. 

8.3. Ortogonalidade. 

8.4. Sistemas ortogonais de vectores. 

8.5. Bases ortonormadas: o método de Gram-Schmidt. 

8.6. O complemento ortogonal de um subespaço vectorial. 

8.7. Projecções ortogonais. 

8.8. Produto interno e produto misto*.

9. Geometria Analítica*

9.1. Espaço afim associado a um espaço vectorial. 

9.2. Referenciais: mudanças de referencial. Subespaços afins. 

9.3. Rectas, planos e hiperplanos. 

9.4. Intersecção de subespaços afins. 

9.5. Paralelismo. 

9.6. Espaços euclideanos. 

9.7. Distâncias. 

9.8. Ortogonalidade. 

9.9. Problemas métricos em R3 : distâncias e ângulos. 

9.10. Quádricas e cónicas*.

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BIBLIOGRAFIA

António Monteiro et al,  "Álgebra Linear e Geometria Analítica - Problemas e Exercícios",

                                     Schaum, McGraw-Hill

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SUMÁRIOS

1º Aula (semana 26/09 a 28/09)

Apresentação.

Algumas considerações sobre a disciplina e algumas observações sobre o funcionamento das aulas práticas.

Horário de atendimento. 

Datas dos exames.

2º Aula (semana 03/10 a 07/10)
Números complexos. Resolução dos exercícios 1 e 2 da ficha.
Inclusões entre conjuntos. Aplicações entre conjuntos. Resolução dos exercícios 0.3 c), 0.7 b), c), 0.9 e 0.13 do livro.

3º Aula (semana 10/10 a 12/10)
Continuação da aula anterior. Resolução do exercício 0.15 d) do livro.
Sistemas de equações lineares. Resolução e discussão de sistemas de equações lineares: o método de Gauss. Resolução dos exercícios 1.1 a), c), e) e 1.2 d) do livro.

4º Aula (semana 17/10 a 19/10)
Determinante de uma matriz quadrada. Cálculo de determinantes: a regra de Sarrus; o método de Gauss; o teorema de Laplace. A regra de Cramer. Resolução dos exercícios 1.6 a), b), c), 1.7 a), 1.11 i), 1.12 a), 1.22 b), 1.24 a) e 1.39.

5º Aula (semana 24/10 a 26/10)
Espaço vectorial sobre um corpo. Combinações lineares. Geradores de um espaço vectorial. Sistemas de vectores equivalentes. Resolução dos exercícios 2.1 a), 2.3, 2.4 a), 2.7 a), h), 2.11 a) e 2.15 b).

6º Aula (semana 31/10 a 02/11)
Dependência linear. Bases. Dimensão. Resolução dos exercícios 2.15 b) (continuação), 2.9, 2.16 d), 2.18 c), i), 2.29 a) e 2.35 b).

7º Aula (semana 07/11 a 09/11)
Subespaços vectoriais. Intersecção e soma de subespaços vectoriais. Subespaços de um espaço de dimensão finita. O teorema das dimensões. Resolução dos exercícios 3.2, 3.3 a), 3.11 a) e 3.30.

8º Aula (semana 14/11 a 16/11)
Somas directas de subespaços. Resolução dos exercícios 3.37 d) e 3.60 a).

Aplicações lineares.  Resolução dos exercícios 4.1 b), f) e 4.14.

9º Aula (semana 21/11 a 23/11)
Núcleo e imagem de uma aplicação linear. Resolução dos exercícios 4.4, 4.18, 4.30 b) e c).

Representação matricial de uma aplicação linear. Operações com matrizes. Característica de uma matriz. Resolução dos exercícios 5.1, 5.13, 5.16, 5.58 a) e 5.65.

10º Aula (semana 28/11 a 30/11)
Matrizes invertíveis. Resolução dos exercícios 5.52, 5.85 e 5.92.

Valores e vectores próprios de um endomorfismo de um espaço vectorial. Cálculo de valores e vectores próprios. Resolução do exercício 6.2 a).

11º Aula (semana 05/12 a 07/12)
Cálculo de valores e vectores próprios. Endomorfismos diagonalizáveis. Resolução dos exercícios 6.30 e 6.54. 

Produto interno num espaço vectorial real. Matriz da métrica. Resolução dos exercícios 7.1 c), d) e 7.55 b).

12º Aula (semana 12/12 a 14/12)

Norma. Ortogonalidade. Sistemas de vectores ortogonais. Bases ortonormadas: método de Gram-Schmidt. O complemento ortogonal de um subespaço vectorial. Projecções ortogonais. Continuação da resolução do exercício 7.55 b).

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AVALIAÇÃO

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HORÁRIO DE ATENDIMENTO

Dra. Fátima Pereira - Gab. 235 

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