Semântica Proposicional

$$H\models p$$

Como definir valores booleanos $\mathtt{v},\mathtt{f}$ de proposições?

As regras da dedução natural usam apenas a sintaxe das proposições, e permitem determinar se uma conclusão $p$ é consequência de certas hipóteses $H$. Nesse caso escreve-se $H⊢p$.

$H⊢p$ não é booleana no sentido em que não depende dos valores $\mathtt{v},\mathtt{f}$ das hipóteses $H$ nem da conclusão $p$.

Os valores booleanos das proposições baseiam-se em valorações.

São funções que associam os valores booleanos $\mathtt{v},\mathtt{f}$ aos átomos e daí, respeitando a estrutura dos conectivos, a todas as proposições.

O que significa $H\models p$?

• A hipótese, $H$, é um conjunto de proposições.
• A conclusão, $p$, também é uma proposição.
• As valorações define os valores booleanos $\mathtt{v},\mathtt{f}$ de todas as proposições.
• A notação $H\models p$ significa que "se todas as hipóteses $H$ são verdadeiras então também $p$ é verdadeira."