Efeito da Contradição

A regra $⊥^{-}$ pode ser lida como "de uma contradição é sempre possível concluir qualquer proposição".

Em termos práticos a lógica e a dedução natural são utilizadas para descrever e analizar um certo problema. Por exemplo, um programa, uma empresa, etc.

Supondo que a Dona Entrelinha é gestora (CEO!) de uma padaria e vai aplicar a lógica e a dedução natural para descrever e analisar o fluxo de trabalho. Começou com um conjunto de regras para o dia-a-dia da padaria:

$H = ⎩ ⎨ ⎧ p \overset{a}{˜} o lucro clientes \land \neg p \overset{a}{˜} o \neg clientes clientes \lor \neg clientes \to ingredientes, \to clientes \land p \overset{a}{˜} o, \to \neg lucro, \to \neg lucro, ⎭ ⎬ ⎫$

Certo dia houve falta de farinha, pelo que a Dona Entrelinha acrescentou $\neg ingredientes$ às regras e antecipou que, nesse dia, não teria lucro: $H, \neg ingredientes ⊢ \neg lucro$ porque

Linha	Proposição	Regra	Hipóteses
1	$\neg ingredientes$	$H_{a}$	não há ingredientes
2	$p \overset{a}{˜} o$	$H_{b}$	admitindo que faz pão (5) descarte
3	$ingredientes$	$\to^{-}$	2, $H_{1}$
4	$⊥$	$⊥^{+}$	2, 6
5	$\neg p \overset{a}{˜} o$	$⊥^{-}$	1 - 3
6	$clientes \lor \neg clientes$	$TE$	(regra derivada!)
	Caso 1 de 6
7	$clientes$	$H$	(15) descarte
8	$clientes \land \neg p \overset{a}{˜} o$	$\land^{+}$	7, 5
9	$\neg lucro$	$\to^{-}$	8, $H_{3}$
	Caso 2 de 6
10	$\neg clientes$	$H$	(15) descarte
11	$\neg lucro$	$\to^{-}$	10, $H_{4}$
12	$\neg lucro$	$\lor^{-}$	6, 7-9, 10-11

Tentado manter o lucro, a Dona Entrelinha foi a uma padaria rival e comprou pão. Mas, com o stress da situação, esqueceu-se de retirar das hipóteses as proposições sobre os ingredientes. Ficou então com hipóteses $H, \neg ingredientes, p \overset{a}{˜} o$

Ora, neste caso

Linha	Proposição	Regra	Hipóteses
1	$p \overset{a}{˜} o$	$H$
2	$\neg ingredientes$	$H$	(5)
3	$ingredientes$	$MP$	1, $H_{1}$
4	$⊥$	$⊥^{+}$	3, 2
5	$o que quisermos!$	$⊥^{-}$	4

Na linha 5 podemos escrever qualquer proposição, i.e. qualquer proposição é consequência de $H, \neg ingredientes, p \overset{a}{˜} o$ !

Esta situação não é desejável porque qualquer teoria (conjunto de hipóteses) "útil" deve distinguir "verdade" de "falso"; os "factos" dos "enganos".

Uma teoria que permita contradições não é "útil" porque qualquer proposição é consequência dessa teoria.

E, se qualquer proposição é consequência, também a sua negação o é; se $H ⊢ p$ para qualquer proposição $p$ , então também $H ⊢ \neg p$ .

Programação Lógica

As hipóteses iniciais da Dona Entrelinha podem ser descritas pelo seguinte programa ASP:

ingredientes :- pao.
clientes :- lucro.
pao :- lucro.
-lucro :- clientes, -pao.
-lucro :- -clientes.
clientes ; -clientes.

Como é normal em programação lógica:

Em vez de $a \to b$ escreve-se $b \leftarrow a$ usando a sintaxe b :- a, que se lê "b se a". Adicionalmente,
A negação $\neg a$ é representada por -a.
A conjunção $a \land b$ por a, b.
A disjunção $a \lor b$ por a; b.

Pode-se perguntar em que circunstâncias este programa é satisfeito. O resultado é

Solving...
Answer: 1
-clientes -lucro
Answer: 2
clientes
SATISFIABLE

Isto é, há duas formas (answer sets) destas regras serem cumpridas:

Ou não há clientes nem lucro (Answer: 1).
Ou há clientes, mas não a garantia de lucro (Answer: 2) .

Recursos

A linguagem ASP (Answer set programming) na wikipedia.
O sistema Potassco inclui o programa clingo que pode ser instalado ou correr no browser.

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