Quantificador Universal

$${\forall }^{-}{\forall }^{+}$$

Intuitivamente $\forall x\text{Par}\left(x\right)$ é uma conjunção:

$$\text{Par}\left(0\right)\wedge \text{Par}\left(1\right)\wedge \text{Par}\left(2\right)\wedge \cdots$$

Analogamente, ${\sum }_i\text{Exp}\left(i\right)$ é uma soma: $$\text{Exp}\left(0\right)+\text{Exp}\left(1\right)+\text{Exp}\left(2\right)+\cdots$$

Portanto, as regras para o quantificador universal estão relacionadas com as regras da conjunção: $\left\{p,q\right\}⊢p\wedge q$ e $p\wedge q⊢p$.

Eliminação do Quantificador Universal

Eliminação do Quantificador Universal (${\forall }^{-}$)

$${\forall }^{-}:\forall xp\left(x\right)⊢p\left(t\right)$$ ou $$\frac{\begin{array}{c}\forall xp\left(x\right)\end{array}}{p(t)}\left({\forall }^{-}\right).$$ desde de que $t$ seja livre para $x$ em $p$.

Notas sobre a regra ${\forall }^{-}$

• A regra ${\forall }^{-}$ generaliza as duas regras ${\wedge }_1^{-}$ e ${\wedge }_2^{-}$.
• O termo $t$ tem de ser livre para $x$ em $p$.

Exemplo. Eliminação do Quantificador Universal

Para qualquer termo fechado $a$, $\forall xp\left(x\right)\to q\left(x\right),p\left(a\right)⊢q\left(a\right)$.

• Como $a$ é fechado não ocorrem variáveis em $a$ logo este é livre para $x$ em $p\left(x\right)\to q\left(x\right)$.
• A regra ${\forall }^{-}$ permite $\left\{x/a\right\}$ na linha 3.

Analogia

Se "Todos os alentejanos são portugueses" e "O João é alentejano" então "O João é português".

Exemplo. Eliminação do Quantificador Universal

Se $x$ não ocorre em $p$ então $\forall xp⊢p$.

• A regra ${\forall }^{-}$ permite escolher qualquer termo fechado, onde não ocorrem variáveis.
• Na linha 2, $p\left\{x/t\right\}$ é $p$ porque $x$ não ocorre em $p$

Introdução do Quantificador Universal

Introdução do Quantificador Universal (${\forall }^{+}$)

$${\forall }^{+}:\left[\left(a\right)\cdots ⊢p\left(a\right)\right]⊢\forall xp\left(x\right)$$ ou $$\frac{\begin{array}{c}\boxed{\begin{array}{cc}& \left(a\right)\\ ⋮& \\ p\left(a\right)& \end{array}}\end{array}}{\forall xp\left(x\right)}\left({\forall }^{+}\right).$$ desde que a variável $a$ não ocorra fora da sub-prova nem em hipóteses ativas.

A sub-prova e a variável $a$ são descartadas com a aplicação da regra.

Exemplo. Introdução do Quantificador Universal

Se $x$ não ocorre em $p$ então $p⊢\forall xp$.

O truque está em escolher uma variável "nova", $a$. Portanto essa variável não ocorre em $p$. Além disso, também $$p\left(x\right)==p==p\left\{a/x\right\}.$$

Analogias

1. Se $\text{Minotauro}\left(32\right)$ então também $\forall x\text{Minotauro}\left(32\right)$.
2. Como $a$ não ocorre em $2t$, substituir $a$ por $x$ em $2t$ resulta em $2t$.

Exemplo. Aplicação incorreta de ${\forall }^{+}$

Nesta falsa demonstração o erro está na linha 3 porque $a$ ocorre fora da sub-prova 2 - 2.

Analogia: Ilustração intuitiva de ${\forall }^{+}$