Um teorema sobre a parábola

O método de exaustão, talvez devido a Antífono e seu colega Brison de Heracleia, século V a.c., permitiu encontrar a mais famosa aproximação de pi de sempre. Durante mil anos não se encontrou melhor que

$$3+\frac{10}{71}<\pi<3+\frac{1}{7},$$ (1)

que Arquimedes conseguiu dividindo o círculo em 96 partes.

O método de exaustão permitiu de facto estabelecer resultados precisos. Por exemplo, cremos que o seguinte esquema,

Figura: À esquerda, $\measuredangle CAB= 3\measuredangle XAB$ com régua graduada com a medida do raio. À direita, Área do círculo $=\frac {Pr}{2}=\pi r^2$ .

ver figura 2, era conhecido dos matemáticos gregos mais antigos. Trata-se da justaposição de triângulos de altura $r=$ raio, dado o perímetro $P$ , deduzindo-se a área do círculo.

O seguinte resultado utiliza outro método na demonstração inteiramente devido ao físico-matemático, que se refere mais à frente.

Teorema 1 (Arquimedes, [2])   A área do maior triângulo inscrito num segmento de uma parábola é $3/4$ da área do respectivo segmento de parábola.

Em particular,

$$\frac{3}{4}+\frac{3}{4^2}+\frac{3}{4^3}+\cdots\ = 1.$$ (2)

Sendo o eixo dos $y$ 's o eixo de simetria de uma parábola $y=kx^2,\ k>0$ , (podemos sempre encontrar uma transformação afim do plano onde a parábola é descrita por esta equação, ou mesmo com $k=1$ ),

Figura: Área $\Delta ABT=\frac {3}{4}$ Área da parábola $ABT$ .

cf. figura 3. Repare-se que o ponto $T$ é o ponto onde a tangente à parábola tem o declive do segmento $AB$ . Supondo esta recta dada como $y=ax+b,\ a,b$ constantes, obtivemos o valor da área do triângulo $ABT$ como $\frac{(a^2+4kb)^\frac{3}{2}}{8k^2}$ -- um exercício simples quando armados do cálculo diferencial. Convém ainda ter presente que qualquer transformação afim preserva a razão entre duas áreas.

Arquimedes prova também que as projecções de $A$ e $B$ no eixo dos $x$ 's são equidistantes da respectiva projecção de $T$ . Lembremo-nos que Arquimedes não possui os conceitos mais elementares da ál-jbra de hoje, apenas as relações entre quantidades geométricas.

Os gregos já referiam as tangentes; Arquimedes manuseia-as com mestria para obter, por exaustão, construindo a série (2), a área da parábola através da dos triângulos inscritos. Repare-se que há um processo indutivo no problema: recortado o triângulo, surgem duas novas regiões em condições análogas e de área total 1/4 da área do segmento de parábola.

Curiosamente, o teorema parece ser pouco conhecido nos dias de hoje.

O estudo das cúbicas foi outro tema que Arquimedes abraçou, tendo sido mais tarde continuado por Omar Khayyam (o matemático e poeta persa-árabe do século XIII, que nos legou a notação `chai', `coisa', que depois degenerou em $x$ ). Recordamos que os árabes foram os guardiões de muita da cultura helénica e, em particular, de algumas obras de Arquimedes.